Sejam V espaço com produto interno, W subespaço de V e u in V, em cada caso calcule projW(u)
V=R^4, W=>=rv=(1,2,1,3), w=(1,1,-9,2) e u=(1,3,-2,-1).

Passo 1

O enunciado pede a projeção de u=(1,3,-2,-1) no subespaço W=spanv,w de R^4, onde
v=(1,2,1,3),
w=(1,1,-9,2)
O conteúdo é projeção ortogonal em espaços com produto interno e vamos usar a fórmula de projeção em base ortogonal, que exige calcular produtos internos entre u,v,w.

Passo 2

Verificamos se v,w é ortogonal, calculando
lang<= v,wrang<= =1cdot1+2cdot1+1cdot(-9)+3cdot2=1+2-9+6=0
Como lang<= v,wrang<==0, o conjunto é ortogonal e podemos projetar separadamente sobre v e sobre w.

Passo 3

Calculamos os produtos internos necessários:
lang<= v,vrang<= =1^2+2^2+1^2+3^2=15,
lang<= w,wrang<= =1^2+1^2+(-9)^2+2^2=87,
lang<= u,vrang<= =1cdot1+3cdot2+(-2)cdot1+(-1)cdot3=2,
lang<= u,wrang<= =1cdot1+3cdot1+(-2)cdot(-9)+(-1)cdot2=20

Passo 4

Para base ortogonal a projeção é
projW(u) =lang<= u,vrang<=lang<= v,vrang<=,v +lang<= u,wrang<=lang<= w,wrang<=,w
Substituindo os valores encontrados, vem

Passo 5

projW(u) =215,v+2087,w

Resposta

projW(u) =215(1,2,1,3)+2087(1,1,-9,2)

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