Justifique que toda base ortogonal (ortonormal) do espaço vetorial euclideano R^n também é uma base ortogonal (ortonormal) do espaço vetorial complexo C^n com o produto interno usual.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma base ortonormal v1,dots,vn de R^n com o produto interno usual
lang<= x,yrang<=R=sumk=1^nxkyk
Queremos mostrar que, vista como subconjunto de C^n, essa mesma família é ortonormal no espaço vetorial complexo com o produto interno
lang<= x,yrang<=C=sumk=1^nxk,yk

Passo 2

Como cada vi tem coordenadas reais, ao calcular
lang<= vi,vjrang<=C =sumk=1^n(vi)k,(vj)k
temos (vj)k=(vj)k. Logo
lang<= vi,vjrang<=C =sumk=1^n(vi)k(vj)k =lang<= vi,vjrang<=R
Pela ortonormalidade em R^n sabemos que para ineq j isso vale 0 e para i=j vale 1. Portanto continua-se a ter
lang<= vi,vjrang<=C= 0,&ineq j, 1,&i=j

Passo 3

Falta ver que v1,dots,vn gera C^n como espaço sobre C. Tomemos um vetor arbitrário zinC^n e escrevamo-lo como z=x+ i,y com x,yinR^n. Como vi é base de R^n, existem escalares reais ai,bi tais que
x=sumi=1^naivi e y=sumi=1^nbivi
Então
z=x+i,y =sumi=1^n(ai+i,bi),vi,
ou seja, z é combinação linear complexa dos vi. Logo eles geram todo C^n.

Resposta

Qualquer base ortogonal (ortonormal) de R^n com o produto interno usual permanece ortogonal (ortonormal) e geradora em C^n com o produto interno usual.

Exercícios relacionados