Justifique que toda base ortogonal (ortonormal) do espaço vetorial euclideano também é uma base ortogonal (ortonormal) do espaço vetorial complexo com o produto interno usual.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma base ortonormal de com o produto interno usual
Queremos mostrar que, vista como subconjunto de , essa mesma família é ortonormal no espaço vetorial complexo com o produto interno
Pela ortonormalidade em R^n sabemos que para ineq j isso vale 0 e para i=j vale 1. Portanto continua-se a ter
lang<= vi,vjrang<=C= 0,&ineq j, 1,&i=j
Passo 3
Falta ver que v1,dots,vn gera C^n como espaço sobre C. Tomemos um vetor arbitrário zinC^n e escrevamo-lo como z=x+ i,y com x,yinR^n. Como vi é base de R^n, existem escalares reais ai,bi tais que
x=sumi=1^naivi e y=sumi=1^nbivi
Então
z=x+i,y =sumi=1^n(ai+i,bi),vi,
ou seja, z é combinação linear complexa dos vi. Logo eles geram todo C^n.
Resposta
Qualquer base ortogonal (ortonormal) de R^n com o produto interno usual permanece ortogonal (ortonormal) e geradora em C^n com o produto interno usual.