Sejam
um espaço com produto interno e
subespaço de
. Determine
e
.
.
Passo 1
O enunciado considera
com produto interno padrão e
, onde
Precisamos determinar o complemento ortogonal
e sua dimensão. Vamos usar a definição de complemento ortogonal e a relação entre dimensões em espaços com produto interno.
Passo 2
Definição:
Como
é gerado por
e
, basta impor
Se
, o produto interno padrão gera as equações em bloco:
Passo 3
Da segunda equação segue
Substituindo na primeira:
Assim podemos tomar
como parâmetros livres.
Passo 4
Escrevendo
em função dos parâmetros
,
,
,
, obtemos
Isso mostra que
tem quatro graus de liberdade e, portanto, dimensão
. Uma base conveniente é dada pelos vetores obtidos definindo um parâmetro igual a
e os demais
:
Passo 5
Como
(os dois geradores são independentes) e
, pela fórmula
segue-se que
confirmando o que encontramos na solução do sistema.