Sejam V um espaço com produto interno e S subespaço de V. Determine S^perp e dim(S^perp).
S=>=r(1,1,-2,3,4,5),(0,0,1,1,0,7), V=R^6.

Passo 1

O enunciado considera V=R^6 com produto interno padrão e
S=spanv1,v2, onde
v1=(1,1,-2,3,4,5), v2=(0,0,1,1,0,7)
Precisamos determinar o complemento ortogonal S^perp e sua dimensão. Vamos usar a definição de complemento ortogonal e a relação entre dimensões em espaços com produto interno.

Passo 2

Definição:
S^perp=xin V mid lang<= x,srang<==0 forall sin S
Como S é gerado por v1 e v2, basta impor
lang<= x,v1rang<==0, lang<= x,v2rang<==0
Se x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6), o produto interno padrão gera as equações em bloco:
x1 + x2 -2x3 +3x4 +4x5 +5x6 =0,
x3 + x4 +7x6 =0

Passo 3

Da segunda equação segue
x4=-x3 -7x6
Substituindo na primeira:
x1 + x2 -2x3 +3(-x3 -7x6) +4x5 +5x6 =0
x1 + x2 -5x3 +4x5 -16x6 =0
x1 = -,x2 +5x3 -4x5 +16x6
Assim podemos tomar x2,x3,x5,x6 como parâmetros livres.

Passo 4

Escrevendo x em função dos parâmetros a=x2, b=x3, c=x5, d=x6, obtemos
x =l(-a +5b -4c +16d,;a,;b,;-b -7d,;c,;dr)
Isso mostra que S^perp tem quatro graus de liberdade e, portanto, dimensão 4. Uma base conveniente é dada pelos vetores obtidos definindo um parâmetro igual a 1 e os demais 0:
(-1,1,0,0,0,0), (5,0,1,-1,0,0), (-4,0,0,0,1,0), (16,0,0,-7,0,1)

Passo 5

Como dim S=2 (os dois geradores são independentes) e dim V=6, pela fórmula
dim S + dim S^perp = dim V
segue-se que
dim S^perp = 6 - 2 = 4,
confirmando o que encontramos na solução do sistema.

Resposta

S^perp = span(-1,1,0,0,0,0),,(5,0,1,-1,0,0),,(-4,0,0,0,1,0),,(16,0,0,-7,0,1),
dim S^perp = 4

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