Resolva o problema de valor iniciado dado: z^prime prime-2 z^prime-2 z=0; z(0)=0, z^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
com a equação
z'' - 2z' - 2z = 0
e condições
z(0)=0 e z'(0)=3.
O conteúdo da matéria é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos precisar usar o polinômio característico.

Passo 2

Para montar o polinômio característico, assumimos a solução da forma z(t)=e^rt. Substituindo na EDO, obtemos
r^2 e^rt - 2r e^rt - 2e^rt = 0
Dividindo por e^rt (sempre diferente de zero), chega-se a
r^2 - 2r - 2 = 0

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico
r^2 - 2r - 2 = 0,
usamos a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz4 + 82 = 2 pm 2raiz32 = 1 pm raiz3

Passo 4

Como as raízes são distintas, r1 = 1 + raiz3 e r2 = 1 - raiz3, a solução geral da EDO é
z(t) = C e^(1+raiz3)t + D e^(1-raiz3)t

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, z(0)=0
C + D = 0 implies D = -C
Depois, calculamos z'(t):
z'(t) = C(1+raiz3)e^(1+raiz3)t + D(1-raiz3)e^(1-raiz3)t
Em t=0 temos z'(0)=3, logo
C(1+raiz3) + D(1-raiz3) = 3
Substituindo D=-C resulta
Cl[(1+raiz3) - (1-raiz3)r] = 3 implies C,(2raiz3) = 3 implies C = 32raiz3 = raiz32,
e portanto D = -raiz32

Passo 6

Substituindo C e D na solução geral e simplificando:
z(t)=raiz32l(e^(1+raiz3)t - e^(1-raiz3)tr) = raiz3,e^tsinhl(raiz3,tr)

Resposta

z(t)=raiz32l(e^(1+raiz3)t-e^(1-raiz3)tr)=raiz3,e^tsinhl(raiz3,tr)

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