1. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
  2. ln (4+x)

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de ln(4+x) em torno de x=0 e o raio de convergência. A ideia é usar a expansão clássica de ln(1+u) e ajustar para ln(4+x).

Passo 2

Escrevemos
ln(4+x) = ln(4) + ln!l(1 + x4r)
Assim temos uma parte constante e outra no formato ln(1+u).

Passo 3

Para lvert urvert<1, vale
ln(1+u) = sumn=1^infty (-1)^n-1,u^nn
Substituindo u = tfracx4, obtemos
ln!l(1 + tfracx4r) = sumn=1^infty (-1)^n-1,1nl(tfracx4r)^n = sumn=1^infty (-1)^n-1,x^nn,4^n
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ln(4+x) = ln(4) + sumn=1^infty (-1)^n-1,x^nn,4^n

Passo 4

A condição de convergência dessa série é lvert x/4rvert<1, ou seja lvert xrvert<4. Portanto o raio de convergência é
R = 4

Resposta

ln(4+x) = ln(4) + sumn=1^infty (-1)^n-1,x^nn,4^n, R = 4

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