Em cada caso, determine se o campo é conservativo e, em caso positivo obtenha a sua função potencial:
F(x, y)=i+j.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o campo
F(x,y)=i+j
é conservativo no domínio R^2 e, em caso afirmativo, obter sua função potencial. Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais e, depois, integrar para encontrar a função escalar cuja gradiente seja F.

Passo 2

Escrevendo F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) com
,P(x,y)=1 e ,Q(x,y)=1, calculamos
partial Ppartial y=0
e
partial Qpartial x=0.
Como partial P/partial y=partial Q/partial x e o domínio R^2 é simplesmente conexo, concluímos que o campo é conservativo.

Passo 3

Para obter a função potencial phi, integramos P=1 em relação a x:
phi(x,y)=integral 1,dx = x + g(y)
Em seguida, impomos
partial phipartial y = Q Longrightarrow g'(y)=1
Logo, integrando g'(y)=1, obtemos g(y)=y+C. Portanto,
phi(x,y)=x+y+C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

O campo é conservativo em R^2 e uma função potencial genérica é
phi(x,y)=x+y+C.

Exercícios relacionados