1. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
  2. 11-x^4

Passo 1

O enunciado pede para achar uma representação por séries de potências de f(x)=11 - x^4 e determinar o raio de convergência. O conteúdo principal é série geométrica e usaremos a fórmula de expansão de 11 - t.

Passo 2

Para lembrar, a série geométrica diz que, para todo t tal que |t|<1, temos
11 - t = sumn=0^infty t^n
Esse resultado fornece diretamente uma série de potências.

Passo 3

Basta agora fazer a substituição t = x^4 na fórmula anterior. Como queremos 11 - x^4, obtemos
11 - x^4 = sumn=0^infty (x^4)^n = sumn=0^infty x^4n

Passo 4

Para o raio de convergência, exigimos |x^4|<1, isto é, |x|<1. Logo o raio de convergência é R = 1.

Resposta

11 - x^4 = sumn=0^infty x^4n,com raio de convergência R = 1ê

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