Encontre a integral integralC 18 r^2y^3 d s, onde C é a curva parametrizada por r(t)=t^3 bari+t^2 j com t in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralC18,r^2y^3,ds
onde a curva C é dada por
r(t) = (t^3,,t^2), tin[0,1]
Para interpretar esse r^2 do numerador, identificamos a primeira componente como x, de modo que o integrando fica
f(x,y)=18,x^2y^3
O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar, e vamos usar a fórmula
integralCf(x,y),ds ;=;integrala^bfl(x(t),y(t)r),l| r'(t)r|,dt

Passo 2

Substituímos x(t)=t^3 e y(t)=t^2 em f:
18,x^2y^3 =18,(t^3)^2(t^2)^3 =18,t^6t^6 =18

Passo 3

Calculamos a derivada da parametrização
r'(t) = l(3t^2,,2tr)
e seu módulo
l| r'(t)r| =raiz(3t^2)^2+(2t)^2 =raiz9t^4+4t^2 =t,raiz9t^2+4

Passo 4

A integral de linha fica então
integral0^118;l| r'(t)r|,dt =integral0^118,t,raiz9t^2+4,dt
Fazemos a substituição
u = 9t^2+4, du = 18t,dt,
com u(0)=4 e u(1)=13. Assim
integral0^118,t,raiz9t^2+4,dt =integral4^13raizu,du

Passo 5

Calculamos a integral em u:
integral4^13u^1/2,du =l[tfrac23,u^3/2r]4^13 =tfrac23l(13^3/2-4^3/2r) =tfrac23l(13raiz13-8r)

Resposta

23,l(13raiz13-8r)

Exercícios relacionados