Use a Definição 1 para determinar se as funções y1 e y2 são linearmente dependentes do intervalo (0,1). y1(t)=e^3 t, y2(t)=e^-4 t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções y1(t)=e^3t e y2(t)=e^-4t são linearmente dependentes no intervalo (0,1). Segundo a Definição 1, duas funções são linearmente dependentes se existir alguma combinação linear não trivial que seja identicamente zero em todo o intervalo.

Passo 2

Suponha que existam constantes a e b, não ambas nulas, tais que
a,y1(t) + b,y2(t) = 0
para todo tin(0,1). Substituindo y1 e y2 obtemos
a,e^3t + b,e^-4t = 0

Passo 3

Dividindo por e^-4t (que nunca é zero), a equação vira
a,e^7t + b = 0
para todo tin(0,1). Como a função e^7t não é constante em (0,1), a única forma dessa soma ser zero em mais de um ponto é ter a=0 e b=0, ou seja, só existe a combinação trivial.

Passo 4

Não existe, portanto, combinação linear não trivial que zere simultaneamente y1 e y2 em (0,1).

Resposta

As funções y1 e y2 são linearmente independentes no intervalo (0,1).

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