- Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
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Passo 1
O enunciado pede a representação em série de potências de
e o raio de convergência. O conteúdo envolvido é a série geométrica e sua diferenciação termo a termo.
Passo 2
Começamos com a série geométrica clássica para
:
Fazendo
, obtemos
Passo 3
Para chegar a
, diferenciamos em
termo a termo:
Por outro lado,
Dividindo ambos os lados por
(para
, mas a série contínua vale também em
), temos
Passo 4
Agora multiplicamos pela parte
:
Reindexando a segunda soma com
e somando termo a termo, obtemos
Passo 5
A condição de convergência vem da série geométrica inicial, que exige
. Assim, o raio de convergência é