1. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
  2. f(x)=1+x^2(1-x^2)^2

Passo 1

O enunciado pede a representação em série de potências de
f(x)=1+x^2(1-x^2)^2
e o raio de convergência. O conteúdo envolvido é a série geométrica e sua diferenciação termo a termo.

Passo 2

Começamos com a série geométrica clássica para lvert xrvert<1:
11-u=sumn=0^inftyu^n
Fazendo u=x^2, obtemos
11-x^2=sumn=0^inftyx^2n

Passo 3

Para chegar a 1(1-x^2)^2, diferenciamos em x termo a termo:
ddxl(11-x^2r) =ddxsumn=0^inftyx^2n =sumn=0^infty2n,x^2n-1
Por outro lado,
ddxl(11-x^2r) =2x(1-x^2)^2
Dividindo ambos os lados por 2x (para xneq0, mas a série contínua vale também em x=0), temos
1(1-x^2)^2 =sumn=1^inftyn,x^2n-2 =summ=0^infty(m+1),x^2m

Passo 4

Agora multiplicamos pela parte 1+x^2:
f(x)=1+x^2(1-x^2)^2 =(1+x^2)summ=0^infty(m+1),x^2m =summ=0^infty(m+1),x^2m +summ=0^infty(m+1),x^2m+2
Reindexando a segunda soma com k=m+1 e somando termo a termo, obtemos
f(x)=sumn=0^infty(2n+1),x^2n

Passo 5

A condição de convergência vem da série geométrica inicial, que exige lvert xrvert<1. Assim, o raio de convergência é
R=1

Resposta

boxedf(x)=sumn=0^infty(2n+1),x^2n, R=1

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