Em cada caso, determine se o campo é conservativo e encontre, se possível, uma função potencial.
F(x, y)=xx^2+y^2 i+yx^2+y^2 j,(x, y) neq(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se o campo vetorial F(x, y) = xx^2+y^2 i + yx^2+y^2 j é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial, caso exista.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar. Isso implica que o campo não depende do caminho, apenas dos pontos inicial e final. Além disso, para um campo em duas dimensões ser conservativo, as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais, ou seja:
partial Fxpartial y = partial Fypartial x

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas parciais para o nosso campo F. Primeiro, identifiquemos Fx e Fy:
Fx = xx^2+y^2, Fy = yx^2+y^2
Agora, calculamos partial Fxpartial y:
partial Fxpartial y = partialpartial y ( xx^2+y^2 ) = -x cdot 2y (x^2+y^2)^2 = -2xy (x^2+y^2)^2

Passo 4

Em seguida, calculamos partial Fypartial x:
partial Fypartial x = partialpartial x ( yx^2+y^2 ) = -y cdot 2x (x^2+y^2)^2 = -2xy (x^2+y^2)^2

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas:
partial Fxpartial y = -2xy (x^2+y^2)^2 e partial Fypartial x = -2xy (x^2+y^2)^2
Perceba que elas são iguais! Isso sugere que o campo F pode ser conservativo.

Passo 6

Apesar das derivadas cruzadas serem iguais, devemos verificar se o domínio do campo é simplesmente conexo. No nosso caso, o domínio é (x, y) neq (0,0), o que significa que o ponto (0,0) está excluído. Isso cria uma “falha” no domínio, tornando-o não simplesmente conexo. Portanto, mesmo com as derivadas cruzadas iguais, o campo pode não ser conservativo globalmente.

Passo 7

No entanto, se considerarmos o campo em um domínio onde está excluído o ponto (0,0), ou seja, em regiões que não envolvem o ponto singular, podemos tratar o campo como conservativo localmente. Vamos tentar encontrar uma função potencial phi(x, y) tal que:
F = nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y )

Passo 8

Integramos Fx em relação a x para encontrar phi :
partial phipartial x = xx^2+y^2 implies phi(x, y) = 12 ln(x^2+y^2) + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y .

Passo 9

Agora, derivamos phi(x, y) em relação a y e igualamos a Fy :
partial phipartial y = 12 cdot 2yx^2+y^2 + g'(y) = yx^2+y^2 + g'(y)
Igualando a Fy :
yx^2+y^2 + g'(y) = yx^2+y^2 implies g'(y) = 0

Passo 10

Integrando g'(y) = 0 , obtemos g(y) = constante . Podemos considerar essa constante como zero sem perda de generalidade.

Passo 11

Portanto, a função potencial é:
phi(x, y) = 12 ln(x^2+y^2) + C
onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

O campo F(x, y) é conservativo em domínios onde (x, y) neq (0,0) e sua função potencial é phi(x, y) = 12 ln(x^2+y^2) + C, onde C é uma constante.

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