Em cada caso, determine se o campo é conservativo e encontre, se possível, uma função potencial.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial, caso exista.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser expresso como o gradiente de uma função escalar. Isso implica que o campo não depende do caminho, apenas dos pontos inicial e final. Além disso, para um campo em duas dimensões ser conservativo, as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas parciais para o nosso campo
. Primeiro, identifiquemos
e
:
Agora, calculamos
:
Passo 4
Em seguida, calculamos
:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas:
Perceba que elas são iguais! Isso sugere que o campo
pode ser conservativo.
Passo 6
Apesar das derivadas cruzadas serem iguais, devemos verificar se o domínio do campo é simplesmente conexo. No nosso caso, o domínio é
, o que significa que o ponto
está excluído. Isso cria uma “falha” no domínio, tornando-o não simplesmente conexo. Portanto, mesmo com as derivadas cruzadas iguais, o campo pode não ser conservativo globalmente.
Passo 7
No entanto, se considerarmos o campo em um domínio onde está excluído o ponto
, ou seja, em regiões que não envolvem o ponto singular, podemos tratar o campo como conservativo localmente. Vamos tentar encontrar uma função potencial
tal que:
Passo 8
Integramos
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 9
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
:
Passo 10
Integrando
, obtemos
. Podemos considerar essa constante como zero sem perda de generalidade.
Passo 11
Portanto, a função potencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
O campo
é conservativo em domínios onde
e sua função potencial é
, onde
é uma constante.