Em cada caso, determine se o campo é conservativo e encontre, se possível, uma função potencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se um campo vetorial é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para ele. Isso tá ligado ao estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Vamos precisar lembrar que um campo é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial, ou seja, se existe uma função
tal que
. Para verificar isso, a gente vai usar o critério das derivadas parciais iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial
. Ele está escrito assim:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o critério para o campo ser conservativo. Em duas dimensões, o campo
é conservativo se satisfizer:
Então, vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Vamos calcular
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Comparando as duas derivadas parciais:
Vemos que
para a maioria dos valores de
e
. Isso significa que o critério não é satisfeito.
Passo 7
Como
, concluímos que o campo vetorial
não é conservativo. Portanto, não existe uma função potencial
que derive esse campo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo, pois as derivadas parciais
e
são diferentes.