Em cada caso, determine se o campo é conservativo e encontre, se possível, uma função potencial.
F(x, y)=(x^3-4 x y^2) i+(6 x-7 y+x^3 y^3) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se um campo vetorial é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para ele. Isso tá ligado ao estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Vamos precisar lembrar que um campo é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial, ou seja, se existe uma função phi(x, y) tal que F = nabla phi . Para verificar isso, a gente vai usar o critério das derivadas parciais iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial F . Ele está escrito assim:
F(x, y) = (x^3 - 4xy^2) i + (6x - 7y + x^3 y^3) j
Então, temos:
P(x, y) = x^3 - 4xy^2 e Q(x, y) = 6x - 7y + x^3 y^3

Passo 3

Agora, vamos aplicar o critério para o campo ser conservativo. Em duas dimensões, o campo F = P i + Q j é conservativo se satisfizer:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Então, vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Vamos calcular partial Ppartial y :
P(x, y) = x^3 - 4xy^2
Derivando em relação a y :
partial Ppartial y = -8xy

Passo 5

Agora, vamos calcular partial Qpartial x :
Q(x, y) = 6x - 7y + x^3 y^3
Derivando em relação a x :
partial Qpartial x = 6 + 3x^2 y^3

Passo 6

Comparando as duas derivadas parciais:
partial Ppartial y = -8xy e partial Qpartial x = 6 + 3x^2 y^3
Vemos que -8xy neq 6 + 3x^2 y^3 para a maioria dos valores de x e y . Isso significa que o critério não é satisfeito.

Passo 7

Como partial Ppartial y neq partial Qpartial x , concluímos que o campo vetorial F não é conservativo. Portanto, não existe uma função potencial phi(x, y) que derive esse campo.

Resposta

O campo vetorial F(x, y) = (x^3 - 4xy^2) i + (6x - 7y + x^3 y^3) j não é conservativo, pois as derivadas parciais partial Ppartial y e partial Qpartial x são diferentes.

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