Esboce a região, o sólido e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=x^2+1, y=3-x^2 em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado nos dá as duas parábolas
y = x^2 + 1
e
y = 3 - x^2
e pede o volume do sólido obtido ao girar a região entre elas em torno do eixo x. O conteúdo aqui é volume por rotação, que vamos tratar pelo método dos anéis (ou discos com furo).

Passo 2

Para esboçar a região, primeiro achamos os pontos de interseção resolvendo
x^2 + 1 = 3 - x^2
2x^2 = 2
x^2 = 1
x = pm 1
Logo, a região está limitada por x=-1 e x=1, com a curva superior y = 3 - x^2 e a inferior y = x^2 + 1.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, numa seção perpendicular obtemos um anel de raio externo
R(x) = 3 - x^2
e raio interno
r(x) = x^2 + 1
O volume é dado por
V = pi integral-1^1 l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx

Passo 4

Calculamos as potências:
R(x)^2 = (3 - x^2)^2 = 9 - 6x^2 + x^4
r(x)^2 = (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1
Subtraindo,
R(x)^2 - r(x)^2 = l(9 - 6x^2 + x^4r) - l(x^4 + 2x^2 + 1r) = 8 - 8x^2 = 8,(1 - x^2)
Portanto
V = pi integral-1^1 8,(1 - x^2),dx = 8pi [x - x^33]-1^1 = 8pi l(tfrac23 - (-tfrac23)r) = 32pi3

Resposta

V = 32pi3

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