Esboce a região, o sólido e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=2 x-x^2, y=0, x=0, x=1 em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada por
;y=2x - x^2,;y=0,;x=0,;x=1.
O conteúdo é o método dos discos, onde cada seção transversal perpendicular a x é um círculo de raio y(x).

Passo 2

O gráfico de y=2x - x^2 é uma parábola com zeros em x=0 e x=2, voltada para baixo. Entre x=0 e x=1 temos y>=0, e essa região fica sob a curva e acima de y=0. Ao girar em torno de x, cada fatia gera um disco de raio igual a y(x).

Passo 3

No método dos discos, o raio do disco em abscissa x é
R(x)=y(x)=2x - x^2,
e a área da seção é pi [R(x)]^2.

Passo 4

O volume é
V = integral0^1 pi l(2x - x^2r)^2 , dx

Passo 5

Expanda o quadrado do integrando:
(2x - x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4,
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V = pi integral0^1 l(4x^2 - 4x^3 + x^4r),dx

Passo 6

Calcule cada parte:
integral0^14x^2,dx = 43, integral0^1(-4x^3),dx = -1, integral0^1x^4,dx = 15
Somando,
integral0^1(4x^2 -4x^3 + x^4),dx = 43 -1 + 15 = 20 -15 +315 = 815
Portanto
V = pi cdot 815 = 8pi15

Resposta

8pi15

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