Calcule , onde é o primeiro quadrante do círculo de raio 2 centrado na origem, orientado no sentido anti-horário e
Sugestão: Faça o óbvio. Verifique se o domínio é simplesmente conexo (i.e. não tem buracos); se for, verifique se o campo é conservativo ( ); se for, encontre uma função potencial e faça (ponto final ponto inicial .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo do arco que é o primeiro quadrante do círculo de raio centrado na origem, orientado no sentido anti-horário.
Conteúdo: campos vetoriais conservativos e função potencial. Vamos verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial para usar a propriedade
Passo 2
Seja
com
O domínio de é todo , que é simplesmente conexo. Calculamos
e
Como , é conservativo.
Passo 3
Procuramos tal que
Integramos em relação a :
Para ajustar g(y), calculamos
partialvarphipartial y =x^2+tfrac12cos(tfrac x2)cos(tfrac y2)+g'(y)
e comparamos a Q(x,y). Vemos que g'(y)=0, logo podemos escolher g(y)=0. Assim