Calcule integralC F cdot d r, onde C é o primeiro quadrante do círculo de raio 2 centrado na origem, orientado no sentido anti-horário e
F(x, y)=(2 x y-4-12 sin (x2) sin (y2)) i+(x^2+12 cos (x2) cos (y2)) j
Sugestão: Faça o óbvio. Verifique se o domínio é simplesmente conexo (i.e. não tem buracos); se for, verifique se o campo é conservativo ( Qx=P y ); se for, encontre uma função potencial varphi(x, y) e faça varphi (ponto final )-varphi( ponto inicial ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCvec Fcdot dvec r
ao longo do arco C que é o primeiro quadrante do círculo de raio 2 centrado na origem, orientado no sentido anti-horário.
Conteúdo: campos vetoriais conservativos e função potencial. Vamos verificar se vec F é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial varphi(x,y) para usar a propriedade
integralCvec Fcdot dvec r=varphi(ponto final)-varphi(ponto inicial)

Passo 2

Seja
vec F(x,y)=P(x,y),vec i+Q(x,y),vec j
com
P(x,y)=2xy-4-tfrac12sinl(tfrac x2r)sinl(tfrac y2r), Q(x,y)=x^2+tfrac12cosl(tfrac x2r)cosl(tfrac y2r)
O domínio de vec F é todo R^2, que é simplesmente conexo. Calculamos
partial Ppartial y =2x-12cdot12sinl(tfrac x2r)cosl(tfrac y2r) =2x-14sinl(tfrac x2r)cosl(tfrac y2r)
e
partial Qpartial x =2x-12cdot12sinl(tfrac x2r)cosl(tfrac y2r) =2x-14sinl(tfrac x2r)cosl(tfrac y2r)
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, vec F é conservativo.

Passo 3

Procuramos varphi(x,y) tal que
partialvarphipartial x=P(x,y)
Integramos P em relação a x:
varphi(x,y) =integrall(2xy-4-tfrac12sin(tfrac x2)sin(tfrac y2)r),dx =x^2y-4x+underbracecos(tfrac x2),sin(tfrac y2),integral -tfrac12sin(tfrac x2)sin(tfrac y2),dx+g(y)
Para ajustar g(y), calculamos
partialvarphipartial y =x^2+tfrac12cos(tfrac x2)cos(tfrac y2)+g'(y)
e comparamos a Q(x,y). Vemos que g'(y)=0, logo podemos escolher g(y)=0. Assim
varphi(x,y)=x^2y-4x+cosl(tfrac x2r),sinl(tfrac y2r)

Passo 4

Os pontos inicial e final de C são, respectivamente, (2,0) e (0,2). Calculamos
varphi(2,0) =2^2cdot0-4cdot2+cos(1)sin(0)=-8,
varphi(0,2) =0-0+cos(0),sin(1)=sin(1)
Pelo teorema da função potencial,
integralCvec Fcdot dvec r =varphi(0,2)-varphi(2,0) =sin(1)-(-8) =8+sin(1)

Resposta

8 + sin(1)

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