Resolva as seguintes equações exponenciais:
raiz[x+4]2^3 x-8=2^x-5

Passo 1

A questão pede resolver a equação exponencial raiz[x+4]2^3x-8 = 2^x-5. Estamos lidando com potências e radicais, e vamos usar a propriedade raiz[n]a = a^1/n junto com as regras de potência para base fixa.

Passo 2

Reescrevemos o radical como potência:
raiz[x+4]2^3x-8 = l(2^3x-8r)^1x+4 = 2^3x-8x+4
Assim a equação fica 2^3x-8x+4 = 2^x-5.

Passo 3

Como a base 2 é positiva e diferente de 1, podemos igualar os expoentes, desde que x+4 neq 0 (ou seja, x neq -4). Logo temos
3x-8x+4 = x - 5

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x+4 e trazemos tudo para um lado:
3x - 8 = (x - 5)(x + 4) = x^2 - x - 20
0 = x^2 - x -20 -3x +8 = x^2 -4x -12

Passo 5

Resolvendo a quadrática x^2 -4x -12 = 0 pelo método de Bháskara:
De<a = (-4)^2 - 4cdot1cdot(-12) = 16 + 48 = 64
x = 4 pm raiz642 = 4 pm 82
Isso dá as raízes x = 6 e x = -2.

Passo 6

Verificamos que ambas as soluções não violam x neq -4 e conferimos no enunciado original: para x=6 e x=-2 a igualdade se mantém. Portanto, são válidas.

Resposta

As soluções são x = 6 e x = -2.

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