Se
, mostre que não existe um campo vetorial
tal que
.
Passo 1
Então, o exercício que a gente tem aqui fala sobre campos vetoriais. A gente precisa mostrar que não existe um campo vetorial
tal que o rotacional de
seja igual ao campo
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e algumas propriedades importantes dos campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de um campo
é dado por:
Esse operador nos dá uma medida da “circulação” do campo vetorial em torno de cada ponto.
Passo 3
Para mostrar que não existe
tal que
, vamos usar uma propriedade importante dos campos vetoriais: se um campo é o rotacional de outro campo vetorial, então ele deve satisfazer a condição de que a divergência desse campo é zero. Ou seja,
Isso porque a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
para ver se ela é zero. A divergência de
é dada por:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 5
A divergência de
é igual a 1, que não é zero. Mas, se
fosse o rotacional de algum campo
, a divergência de
deveria ser zero, conforme vimos no Passo 3. Como isso não acontece, podemos concluir que não existe um campo vetorial
tal que
.
Resposta
Não existe um campo vetorial
tal que
, pois a divergência de
é diferente de zero.