Se F=x i-z j+2 y k, mostre que não existe um campo vetorial G tal que rot(G)=F.

Passo 1

Então, o exercício que a gente tem aqui fala sobre campos vetoriais. A gente precisa mostrar que não existe um campo vetorial G tal que o rotacional de G seja igual ao campo F = x i - z j + 2 y k. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e algumas propriedades importantes dos campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de um campo G = Gx i + Gy j + Gz k é dado por:
rot(G) = nabla times G = ( partial Gzpartial y - partial Gypartial z ) i + ( partial Gxpartial z - partial Gzpartial x ) j + ( partial Gypartial x - partial Gxpartial y ) k
Esse operador nos dá uma medida da “circulação” do campo vetorial em torno de cada ponto.

Passo 3

Para mostrar que não existe G tal que rot(G) = F, vamos usar uma propriedade importante dos campos vetoriais: se um campo é o rotacional de outro campo vetorial, então ele deve satisfazer a condição de que a divergência desse campo é zero. Ou seja,
nabla cdot (rot(G)) = 0
Isso porque a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F para ver se ela é zero. A divergência de F = x i - z j + 2 y k é dada por:
nabla cdot F = partialpartial x(x) + partialpartial y(-z) + partialpartial z(2y)
Calculando cada termo:
partialpartial x(x) = 1
partialpartial y(-z) = 0 (porque z não depende de y) ã
partialpartial z(2y) = 0 (porque y não depende de z) ã
Então,
nabla cdot F = 1 + 0 + 0 = 1

Passo 5

A divergência de F é igual a 1, que não é zero. Mas, se F fosse o rotacional de algum campo G, a divergência de F deveria ser zero, conforme vimos no Passo 3. Como isso não acontece, podemos concluir que não existe um campo vetorial G tal que rot(G) = F.

Resposta

Não existe um campo vetorial G tal que rot(G) = F, pois a divergência de F é diferente de zero.

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