Em cada caso, determine a dimensão do espaço vetorial V :
(1) V é o espaço vetorial das matrizes 2 times 2 simétricas.
(2) V é a soma direta dos subespaços V1 e V2, V=V1 oplus V2, com dim V1=n e dim V2=m.
(3) V é o espaço gerado pelas matrizes (lll1 & 2 & 1 3 & 1 & 2),(lll2 & 4 & 3 7 & 5 & 6) e (lll1 & 2 & 3 5 & 7 & 6).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a dimensão do espaço vetorial V em três casos distintos:
(1) V é o espaço das matrizes 2times2 simétricas.
(2) V é a soma direta V=V1oplus V2, com dim V1=n e dim V2=m.
(3) V é o espaço gerado pelas matrizes
M1=1&2&13&1&2, M2=2&4&37&5&6, M3=1&2&35&7&6
O conteúdo envolve contagem de parâmetros livres em matrizes simétricas, propriedade de soma direta e determinação de dimensão de um espaço gerado usando independência linear.

Passo 2

Uma matriz simétrica tem a forma
onde são parâmetros livres. Logo há três graus de liberdade, isto é,

Passo 3

Se V=V1oplus V2 e V1cap V2=0, vale a propriedade
dim V = dim V1 + dim V2 = n + m

Passo 4

Para o espaço gerado por M1,M2,M3, vemos se há relação de dependência. Procuramos alpha,beta tais que
alpha M1 + beta M2 = M3
Das entradas (1,1) e (1,3) obtém-se o sistema
alpha + 2beta = 1, alpha + 3beta = 3
Subtraindo, beta=2 e, então, alpha=1-2cdot2=-3. Verifica-se que essa combinação vale para todas as entradas, ou seja,
M3 = -3,M1 + 2,M2
Como M1 e M2 não são proporcionais, são independentes. Portanto basta uma base com esses dois vetores e
dim V = 2

Resposta

(1) dim V = 3
(2) dim V = n + m
(3) dim V = 2

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