Seja F1 o conjunto das funções reais pares e F2 o conjunto das funções reais impares, i.e., f in F1 Leftrightarrow f(x)=f(-x) e g in F2 Leftrightarrow g(x)=-g(-x). Responda:
(1) Mostre que F1 e F2 são espaços vetoriais segundo as operações usuais de soma e multiplicação por escalar para funções reais. Para tanto, verifique os axiomas do fecho, a existência de elemento nulo e de elemento oposto.
(2) Mostre que o espaço vetorial das funções reais F pode ser escrito como a soma direta F=F1 oplus F2.

Passo 1

O enunciado trata do espaço vetorial F de todas as funções reais e dos subconjuntos
;F1=fin Fmid f(x)=f(-x) (funções pares) e
;F2=gin Fmid g(x)=-g(-x) (funções ímpares).
Conteúdo: teoria de subespaços e soma direta de espaços vetoriais.
Precisamos mostrar que F1 e F2 são subespaços de F (fecho em soma e escalar, zero, inverso aditivo) e depois provar que
F=F1oplus F2,
ou seja, que todo fin F se escreve unicamente como soma de um par e um ímpar.

Passo 2

Mostrar que F1 é subespaço de F.
Fecho em soma: se f,gin F1 então
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
logo f+gin F1.
Fecho em escalar: para alphainR,
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=alpha,f(x)=(alpha f)(x),
logo alpha fin F1.
Elemento nulo: 0(x)=0 satisfaz 0(-x)=0(x), logo 0in F1.
Elemento oposto: se fin F1 então
(-f)(-x)=-f(-x)=-f(x)=(-f)(x),
logo -fin F1.

Passo 3

Mostrar que F2 é subespaço de F.
Fecho em soma: se g,hin F2 então
(g+h)(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)-h(x)=-(g(x)+h(x))=-(g+h)(x),
logo g+hin F2.
Fecho em escalar: para alphainR,
(alpha g)(-x)=alpha,g(-x)=-alpha,g(x)=-(alpha g)(x),
logo alpha gin F2.
Elemento nulo: 0(-x)=0= -0= -0(x), logo 0in F2.
Elemento oposto: se gin F2 então
(-g)(-x)=-g(-x)= -l(-g(x)r)=g(x)= -(-g)(x),
logo -gin F2.

Passo 4

Construir decomposição de uma função arbitrária fin F. Defina
fpar(x)=f(x)+f(-x)2, fímpar(x)=f(x)-f(-x)2 í
Então
fpar(-x) =f(-x)+f(x)2 =f(x)+f(-x)2 =fpar(x),
logo fparin F1, e
fímpar(-x) =f(-x)-f(x)2 =-f(x)-f(-x)2 =-fímpar(x), íí
logo fímparin F2í. Além disso,
fpar(x)+fímpar(x) =f(x)+f(-x)2+f(x)-f(-x)2 =f(x) í
Isso mostra que F=F1+F2.

Passo 5

Verificar unicidade da decomposição, i.e.\ que
;F1cap F2=0.
Se hin F1cap F2 então
h(x)=h(-x) e h(x)=-h(-x)
Juntando, h(x)=-h(x) para todo x, logo h(x)=0. Assim h é a função zero, e a interseção é trivial.

Resposta

Mostramos que F1 e F2 são subespaços de F, que qualquer fin F se decompõe como f=fpar+fímparí, e que essa decomposição é única porque F1cap F2=0. Portanto
F=F1oplus F2

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