Seja
o conjunto das funções reais pares e
o conjunto das funções reais impares, i.e.,
e
. Responda:
(1) Mostre que
e
são espaços vetoriais segundo as operações usuais de soma e multiplicação por escalar para funções reais. Para tanto, verifique os axiomas do fecho, a existência de elemento nulo e de elemento oposto.
(2) Mostre que o espaço vetorial das funções reais
pode ser escrito como a soma direta
.
(1) Mostre que
(2) Mostre que o espaço vetorial das funções reais
Passo 1
O enunciado trata do espaço vetorial
de todas as funções reais e dos subconjuntos
(funções pares) e
(funções ímpares).
Conteúdo: teoria de subespaços e soma direta de espaços vetoriais.
Precisamos mostrar que e
são subespaços de
(fecho em soma e escalar, zero, inverso aditivo) e depois provar que
Conteúdo: teoria de subespaços e soma direta de espaços vetoriais.
Precisamos mostrar que
ou seja, que todo
se escreve unicamente como soma de um par e um ímpar.
Passo 2
Mostrar que
é subespaço de
.
Fecho em soma: se então
Fecho em soma: se
logo
.
Fecho em escalar: para ,
Fecho em escalar: para
logo
.
Elemento nulo: satisfaz
, logo
.
Elemento oposto: se então
Elemento nulo:
Elemento oposto: se
logo
.
Passo 3
Mostrar que
é subespaço de
.
Fecho em soma: se então
Fecho em soma: se
logo
.
Fecho em escalar: para ,
Fecho em escalar: para
logo
.
Elemento nulo: , logo
.
Elemento oposto: se então
Elemento nulo:
Elemento oposto: se
logo
.
Passo 4
Construir decomposição de uma função arbitrária
. Defina
Então
logo
, e
logo
. Além disso,
Isso mostra que
.
Passo 5
Verificar unicidade da decomposição, i.e.\ que
.
Se então
Se
Juntando,
para todo
, logo
. Assim
é a função zero, e a interseção é trivial.
Resposta
Mostramos que
e
são subespaços de
, que qualquer
se decompõe como
, e que essa decomposição é única porque
. Portanto