Mostre que qualquer conjunto com mais de 3 vetores em P2(R) é L D.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo conjunto com mais de três vetores em P2(R) é linearmente dependente. Aqui o conteúdo é teoria de espaço vetorial finito-dimensional, em particular o conceito de dimensão e de dependência linear. Vamos usar o fato de que dim P2(R)=3 e depois montar um sistema homogêneo para concluir que há sempre combinação não trivial.

Passo 2

Primeiro lembramos que
P2(R)=l,a0 + a1 x + a2 x^2 mid a0,a1,a2inRr
é um espaço vetorial de dimensão 3. De fato,
,1,;x,;x^2
é uma base, pois todo polinômio de grau <=2 se escreve de forma única como combinação linear desses três.

Passo 3

Seja S=p1,p2,dots,pksubset P2(R) com k>3. Escrevemos cada pi em coordenadas na base 1,x,x^2:
pi(x)=ai0+ai1x+ai2x^2
Logo cada pi corresponde ao vetor l(ai0,ai1,ai2r)inR^3.

Passo 4

Para testar dependência linear, consideramos a combinação
(o zero aqui é o polinômio identicamente nulo). Em coordenadas isso vira o sistema homogêneo em
São incógnitas .

Passo 5

Como k>3, temos mais incógnitas do que equações. Por teoria de sistemas lineares, esse sistema homogêneo admite sempre solução não-trivial cineq0. Isso significa exatamente que há combinação linear não trivial que zera os pi, ou seja, S é linearmente dependente.

Resposta

Qualquer conjunto com mais de três vetores em P2(R) é linearmente dependente.

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