Mostre que qualquer conjunto com mais de 3 vetores em
é
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo conjunto com mais de três vetores em
é linearmente dependente. Aqui o conteúdo é teoria de espaço vetorial finito-dimensional, em particular o conceito de dimensão e de dependência linear. Vamos usar o fato de que
e depois montar um sistema homogêneo para concluir que há sempre combinação não trivial.
Passo 2
Primeiro lembramos que
é um espaço vetorial de dimensão
. De fato,
é uma base, pois todo polinômio de grau
se escreve de forma única como combinação linear desses três.
Passo 3
Seja
com
. Escrevemos cada
em coordenadas na base
:
Logo cada
corresponde ao vetor
.
Passo 4
Para testar dependência linear, consideramos a combinação
(o zero aqui é o polinômio identicamente nulo). Em coordenadas isso vira o sistema homogêneo em
São incógnitas
.
Passo 5
Como
, temos mais incógnitas do que equações. Por teoria de sistemas lineares, esse sistema homogêneo admite sempre solução não-trivial
. Isso significa exatamente que há combinação linear não trivial que zera os
, ou seja,
é linearmente dependente.
Resposta
Qualquer conjunto com mais de três vetores em
é linearmente dependente.