Sejam W1 o subespaço das matrizes 2 times 2 simétricas, e W2 o subespaço das matrizes 2 times 2 anti-simétricas. Encontre uma base para W1 e para W2. Mostre que M2(R)= W1 oplus W2 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar bases dos subespaços W1 das matrizes simétricas 2times2 e W2 das matrizes anti-simétricas 2times2, e em seguida mostrar que todo Ain M2(R) se escreve de modo único como soma de um elemento de W1 e de um elemento de W2. O conteúdo usado será definição de subespaço, base, soma direta e decomposição canônica via transposta.

Passo 2

Uma matriz simétrica Xin W1 satisfaz X^T=X, então tem forma
X=a & b [6pt] b & c
com a,b,cinR. Três parâmetros livres implicam dim W1=3. Uma base conveniente é
E1,E2,E3, onde
E1=1&00&0,
E2=0&11&0 e
E3=0&00&1.
]

Passo 3

Uma matriz anti-simétrica Yin W2 satisfaz Y^T=-Y, logo tem forma
Y=0 & d [6pt] -d & 0
com dinR. Só há um parâmetro, então dim W2=1 e uma base é
F com
F=0&1-1&0.
]

Passo 4

Para mostrar que W1+W2=M2(R), tome qualquer Ain M2(R). Defina
S=A + A^T2, K=A - A^T2
Então S^T=tfracA^T+A2=S, logo Sin W1. E K^T=tfracA^T-A2=-K, logo Kin W2. Além disso, claramente
S + K = A + A^T2 + A - A^T2 = A,
mostrando que todo A é soma de algo em W1 e algo em W2.

Passo 5

Para ver que a soma é direta, consideremos Xin W1cap W2. Então X^T=X e também X^T=-X. Assim
X = X^T = -X implies 2X = 0 implies X=0
Logo W1cap W2=0 e M2(R)=W1oplus W2.

Resposta

Uma base de W1 é
l1&00&0,;0&11&0,;0&00&1r.
Uma base de W2 é
l0&1-1&0r.
Além disso, todo Ain M2(R) se decompõe unicamente em
A = A + A^T2 ;+;A - A^T2,
onde tfracA + A^T2in W1 e tfracA - A^T2in W2, portanto
M2(R) = W1 oplus W2

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