Sejam
o subespaço das matrizes
simétricas, e
o subespaço das matrizes
anti-simétricas. Encontre uma base para
e para
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar bases dos subespaços
das matrizes simétricas
e
das matrizes anti-simétricas
, e em seguida mostrar que todo
se escreve de modo único como soma de um elemento de
e de um elemento de
. O conteúdo usado será definição de subespaço, base, soma direta e decomposição canônica via transposta.
Passo 2
Uma matriz simétrica
satisfaz
, então tem forma
com
. Três parâmetros livres implicam
. Uma base conveniente é
, onde
,
e
.
]
]
Passo 3
Uma matriz anti-simétrica
satisfaz
, logo tem forma
com
. Só há um parâmetro, então
e uma base é
com
.
]
]
Passo 4
Para mostrar que
, tome qualquer
. Defina
Então
, logo
. E
, logo
. Além disso, claramente
mostrando que todo
é soma de algo em
e algo em
.
Passo 5
Para ver que a soma é direta, consideremos
. Então
e também
. Assim
Logo
e
.
Resposta
Uma base de
é
.
Uma base de é
.
Além disso, todo se decompõe unicamente em
Uma base de
Além disso, todo
onde
e
, portanto