Considere os vetores (1,2,-1,3,4),(2,4,-2,6,8),(1,3,2,2,6),(1,4,5,1,8), (2,7,3,3,9) do R^5.
(1) Determina a dimensão do subespaço do R^5 gerado por esses vetores.
(2) Encontre uma base para o mesmo subespaço, mas que contem apenas vetores dentre os listados no enunciado.

Passo 1

Temos cinco vetores em R^5:
v1=(1,2,-1,3,4),; v2=(2,4,-2,6,8),; v3=(1,3,2,2,6),; v4=(1,4,5,1,8),; v5=(2,7,3,3,9)
O objetivo é ( 1) encontrar a dimensão do subespaço gerado por eles, isto é, o número máximo de vetores linearmente independentes; e ( 2) extrair, entre os próprios vi, um conjunto de vetores que forme base desse subespaço.

Passo 2

Para saber quantos são independentes, colocamos esses vetores como linhas de uma matriz e aplicamos eliminação de Gauss.
M= 1 & 2 & -1 & 3 & 4 2 & 4 & -2 & 6 & 8 1 & 3 & 2 & 2 & 6 1 & 4 & 5 & 1 & 8 2 & 7 & 3 & 3 & 9
Fazendo operações elementares:
1. R2 R2-2R1,;R3 R3-R1,;R4 R4-R1,;R5 R5-2R1,:
1 & 2 & -1 & 3 & 4 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & -1 & 2 0 & 2 & 6 & -2 & 4 0 & 3 & 5 & -3 & 1
2. R4 R4-2R3,;R5 R5-3R3,:
1 & 2 & -1 & 3 & 4 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -4 & 0 & -5

Passo 3

Nesse escalonamento aparecem pivôs nas colunas 1, 2 e 3, logo o posto de M é 3. Como o posto é a dimensão do espaço gerado pelas linhas (ou colunas), concluímos que
diml(spanv1,dots,v5r)=3

Passo 4

Os pivôs ficaram nas linhas originais 1, 3 e 5, o que mostra que v1, v3 e v5 são linearmente independentes e geram todo o subespaço. Assim uma base formada apenas por vetores do enunciado é
,v1,;v3,;v5 =(1,2,-1,3,4),;(1,3,2,2,6),;(2,7,3,3,9)

Resposta

( 1) A dimensão é 3.
( 2) Uma base é (1,2,-1,3,4),,(1,3,2,2,6),,(2,7,3,3,9).

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