Em cada caso, determine a equação do plano:
que contém a reta
e é paralelo ao plano
.
que contém a reta
Passo 1
O enunciado dá a reta
e pede a equação de um plano que contenha essa reta e seja paralelo ao plano
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Um ponto qualquer da reta (por exemplo o ponto em
). - O vetor diretor da reta.
- O vetor normal do plano dado
Passo 2
Vamos extrair um ponto que pertence à reta e o vetor diretor da reta. Tomando
obtemos o ponto
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de
nas coordenadas, ou seja
Explicação rápida: uma reta paramétrica
tem ponto
e vetor diretor
.
Passo 3
Qual é a condição para um plano ser paralelo ao plano
?
A equação geral de um plano é e o vetor normal desse plano é
Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são paralelos (ou seja, proporcionais).
O plano dado tem vetor normal
A equação geral de um plano é
O plano dado tem vetor normal
Logo, qualquer plano paralelo a ele terá um vetor normal proporcional a
. Podemos, sem perda de generalidade, testar com
porque multiplicar o normal por escalar não altera a direção do plano.
Passo 4
Para que um plano com normal
contenha a reta, é necessário que o vetor diretor
da reta seja ortogonal ao vetor normal
. Em outras palavras, deve valer
Esse é um fato fundamental: se um vetor está no plano, então ele é perpendicular ao normal do plano (produto escalar zero). Vamos verificar o produto escalar entre
e
:
Calcule cada produto componente a componente:
Somando:
Passo 5
Como
, o vetor diretor da reta não é ortogonal ao vetor normal do plano dado. Isto significa que a reta não é paralela ao plano
e, por consequência, nenhum plano com normal paralelo a
(ou seja, nenhum plano paralelo ao plano dado) pode conter integralmente essa reta. Se existisse tal plano paralelo, teríamos
, o que não acontece aqui.
Passo de verificação adicional (opcional, para intuição): se substituirmos a parametrização da reta na equação do plano dado,
temos
ou seja, a reta intersecta o plano dado em um único ponto (quando
), em vez de estar contida nele. Isso confirma que não existe plano paralelo ao dado que contenha toda a reta.
Resposta
Não existe nenhum plano que contenha a reta
e seja paralelo ao plano