Em cada caso, determine a equação do plano:
que contém a reta r(t)=(1+2 t, 2+t,-2-2 t), t \in \mathbb{R} e é paralelo ao plano 3 x+2 y-4 z=0.

Passo 1

O enunciado dá a reta \,r(t)=(1+2t,\,2+t,\,-2-2t),\;t\in\mathbb{R}\, e pede a equação de um plano que contenha essa reta e seja paralelo ao plano \,3x+2y-4z=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Um ponto qualquer da reta (por exemplo o ponto em t=0).
  • O vetor diretor da reta.
  • O vetor normal do plano dado \,3x+2y-4z=0.

Passo 2

Vamos extrair um ponto que pertence à reta e o vetor diretor da reta. Tomando t=0 obtemos o ponto
P_0=(1,\,2,\,-2).
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de t nas coordenadas, ou seja
\vec v=(2,\,1,\,-2).
Explicação rápida: uma reta paramétrica \,(x,y,z)=(x_0+at,\,y_0+bt,\,z_0+ct)\, tem ponto (x_0,y_0,z_0) e vetor diretor (a,b,c).

Passo 3

Qual é a condição para um plano ser paralelo ao plano \,3x+2y-4z=0?
A equação geral de um plano é \,ax+by+cz+d=0 e o vetor normal desse plano é \,\vec n=(a,b,c). Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são paralelos (ou seja, proporcionais).
O plano dado tem vetor normal
\vec n_0=(3,\,2,\,-4).
Logo, qualquer plano paralelo a ele terá um vetor normal proporcional a \vec n_0. Podemos, sem perda de generalidade, testar com \vec n=\vec n_0=(3,2,-4) porque multiplicar o normal por escalar não altera a direção do plano.

Passo 4

Para que um plano com normal \vec n contenha a reta, é necessário que o vetor diretor \vec v da reta seja ortogonal ao vetor normal \vec n. Em outras palavras, deve valer
\vec n\cdot\vec v=0.
Esse é um fato fundamental: se um vetor está no plano, então ele é perpendicular ao normal do plano (produto escalar zero). Vamos verificar o produto escalar entre \vec n_0 e \vec v:
\vec n_0\cdot\vec v = (3,2,-4)\cdot(2,1,-2).
Calcule cada produto componente a componente:
3\cdot 2 = 6,\qquad 2\cdot 1 = 2,\qquad (-4)\cdot(-2)=8.
Somando:
\vec n_0\cdot\vec v = 6+2+8 = 16.

Passo 5

Como \vec n_0\cdot\vec v = 16 \neq 0, o vetor diretor da reta não é ortogonal ao vetor normal do plano dado. Isto significa que a reta não é paralela ao plano \,3x+2y-4z=0 e, por consequência, nenhum plano com normal paralelo a \vec n_0 (ou seja, nenhum plano paralelo ao plano dado) pode conter integralmente essa reta. Se existisse tal plano paralelo, teríamos \vec n_0\cdot\vec v=0, o que não acontece aqui.
Passo de verificação adicional (opcional, para intuição): se substituirmos a parametrização da reta na equação do plano dado,
3(1+2t)+2(2+t)-4(-2-2t)=0,
temos
3+6t+4+2t+8+8t=0 \implies 15+16t=0 \implies t=-\tfrac{15}{16},
ou seja, a reta intersecta o plano dado em um único ponto (quando t=-\tfrac{15}{16}), em vez de estar contida nele. Isso confirma que não existe plano paralelo ao dado que contenha toda a reta.

Resposta

Não existe nenhum plano que contenha a reta \,r(t)=(1+2t,\,2+t,\,-2-2t)\, e seja paralelo ao plano \,3x+2y-4z=0.

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