Considere a curva no espaço \mathbb{R}^{3} dada por
r(t)=\left(t \cos (t)-\operatorname{sen} t, t \operatorname{sen}(t)+\cos t, k t^{2}\right), t \in[0,2 \pi]
onde k é uma constante positiva. Calcule o valor de k sabendo que o comprimento da curva é 10 \pi^{2}.
Passo 1
O enunciado dá a curva r(t) em \mathbb{R}^3
r(t)=\bigl(t\cos t-\sin t,\; t\sin t+\cos t,\; k t^{2}\bigr),\quad t\in[0,2\pi],
onde k>0 é uma constante. Pede-se: encontrar o valor de k sabendo que o comprimento da curva é 10\pi^{2}. Informação importante: o intervalo de parâmetro é [0,2\pi] e o comprimento total L é dado numericamente.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que usamos para comprimento de curva no espaço. Se r(t)=(x(t),y(t),z(t)) é uma curva suave em [a,b], o comprimento L é
L=\int_{a}^{b}\|r'(t)\|\,dt,
onde \|r'(t)\| é a norma do vetor derivada r'(t). Aqui \|r'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}. Vou aplicar isso diretamente à nossa r(t).
Passo 3
Calculo as derivadas das componentes uma a uma (derivação componente por componente):
A primeira componente é x(t)=t\cos t-\sin t. Derivando,
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t\cos t\bigr)-\frac{d}{dt}\bigl(\sin t\bigr)=\bigl(\cos t - t\sin t\bigr)-\cos t=-t\sin t.
A segunda componente é y(t)=t\sin t+\cos t. Derivando,
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t\sin t\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(\cos t\bigr)=\bigl(\sin t + t\cos t\bigr)-\sin t=t\cos t.
A terceira componente é z(t)=k t^{2}. Derivando,
z'(t)=2k t.
Portanto
r'(t)=\bigl(-t\sin t,\; t\cos t,\; 2k t\bigr).
Passo 4
Agora a norma \|r'(t)\| e sua simplificação. Primeiro escrevo o quadrado da norma: