Considere a curva no espaço
dada por
onde
é uma constante positiva. Calcule o valor de
sabendo que o comprimento da curva é
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a constante positiva
da curva
sabendo que o comprimento total da curva é
. Informações importantes dadas:
- A curva é parametrizada por
no intervalo . - A componente vertical é
com . - O comprimento da curva é
.
O objetivo final é determinar o valor de.
Passo 2
Lembrando a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada: se
é uma curva suave em
, então o comprimento
é
Explicação:
é o vetor velocidade (derivada componente a componente) e
é a norma euclidiana (velocidade escalar). Aqui
e
.
Passo 3
Vamos calcular
derivando cada componente (uso da regra da cadeia quando necessário).
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Logo,
Pequena lembrança: a regra da cadeia diz que a derivada de
é
, por isso o fator
.
Passo 4
Agora calculamos a norma
, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
Desenvolvendo:
Somando:
Usando a identidade trigonométrica fundamental
, temos
Portanto a velocidade é constante:
Passo 5
Como
é constante, o comprimento é simplesmente a velocidade constante vezes o comprimento do intervalo:
Logo obtemos a expressão
Passo 6
Agora igualamos essa expressão ao comprimento dado
:
Dividindo ambos os lados por
(que é não nulo),
Elevando ao quadrado ambos os lados,
Como o enunciado diz que
é positivo, devemos tomar a raiz positiva de
.