Considere a curva no espaço \mathbb{R}^{3} dada por
r(t)=(\cos (4 t), \operatorname{sen}(4 t), k t), t \in[0,2 \pi]
onde k é uma constante positiva. Calcule o valor de k sabendo que o comprimento da curva é 12 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a constante positiva k da curva
r(t)=(\cos(4t),\;\operatorname{sen}(4t),\;kt),\qquad t\in[0,2\pi],
sabendo que o comprimento total da curva é 12\pi. Informações importantes dadas:
  • A curva é parametrizada por t no intervalo [0,2\pi].
  • A componente vertical é kt com k>0.
  • O comprimento da curva é 12\pi.
    O objetivo final é determinar o valor de k.

Passo 2

Lembrando a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada: se r(t) é uma curva suave em [a,b], então o comprimento L é
L=\int_a^b \lVert r'(t)\rVert\,dt.
Explicação: r'(t) é o vetor velocidade (derivada componente a componente) e \lVert r'(t)\rVert é a norma euclidiana (velocidade escalar). Aqui a=0 e b=2\pi.

Passo 3

Vamos calcular r'(t) derivando cada componente (uso da regra da cadeia quando necessário).
  • Derivada de \cos(4t) em relação a t é -4\sin(4t).
  • Derivada de \operatorname{sen}(4t) em relação a t é 4\cos(4t).
  • Derivada de kt em relação a t é k.
    Logo,
r'(t)=\big(-4\sin(4t),\;4\cos(4t),\;k\big).
Pequena lembrança: a regra da cadeia diz que a derivada de \sin(4t) é \cos(4t)\cdot 4, por isso o fator 4.

Passo 4

Agora calculamos a norma \lVert r'(t)\rVert, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
\lVert r'(t)\rVert=\sqrt{(-4\sin(4t))^2+(4\cos(4t))^2+k^2}.
Desenvolvendo:
(-4\sin(4t))^2=16\sin^2(4t),\qquad (4\cos(4t))^2=16\cos^2(4t).
Somando:
16\sin^2(4t)+16\cos^2(4t)+k^2=16\big(\sin^2(4t)+\cos^2(4t)\big)+k^2.
Usando a identidade trigonométrica fundamental \sin^2\theta+\cos^2\theta=1, temos
16\big(\sin^2(4t)+\cos^2(4t)\big)+k^2=16+k^2.
Portanto a velocidade é constante:
\lVert r'(t)\rVert=\sqrt{16+k^2}.

Passo 5

Como \lVert r'(t)\rVert é constante, o comprimento é simplesmente a velocidade constante vezes o comprimento do intervalo:
L=\int_0^{2\pi}\sqrt{16+k^2}\,dt=\sqrt{16+k^2}\int_0^{2\pi}dt=\sqrt{16+k^2}\cdot(2\pi).
Logo obtemos a expressão
L=2\pi\sqrt{16+k^2}.

Passo 6

Agora igualamos essa expressão ao comprimento dado 12\pi:
2\pi\sqrt{16+k^2}=12\pi.
Dividindo ambos os lados por 2\pi (que é não nulo),
\sqrt{16+k^2}=6.
Elevando ao quadrado ambos os lados,
16+k^2=36\quad\Rightarrow\quad k^2=20.
Como o enunciado diz que k é positivo, devemos tomar a raiz positiva de k^2.

Resposta

k=2\sqrt{5}

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