Determine se cada integral é convergente ou divergente, sem necessariamente calculá-la
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a integral
e descobrir se ela converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de integrais impróprias, que são aquelas que têm limites de integração infinitos ou apresentam descontinuidades na função integranda. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento da função
muda quando
fica muito grande (positiva ou negativamente).
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no comportamento da função
quando
tende para
e
. Quando
fica muito grande, o termo
domina o denominador, então a função se aproxima de
. Isso significa que, para valores grandes de
, a nossa função se comporta como
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma regra importante das integrais impróprias: se uma função se comporta como
para grandes valores de
, a integral dela de
até
converge se
e diverge se
. No nosso caso, temos
, que é maior que
, então sabemos que
converge.
Passo 4
Como nossa função
se comporta como
, que é uma constante multiplicada de
, e já vimos que
tem uma integral convergente, podemos concluir, usando o Teste de Comparação, que a integral
também converge.
Resposta
A integral
é convergente.