Em cada caso, determine se a função é injetora e/ou sobrejetora, justificando sua resposta:
(e) dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a função é injetora e/ou sobrejetora. Isso significa que vamos ver se cada elemento do conjunto de saída (os inteiros ) é atingido por no máximo um elemento do conjunto de entrada () para injetividade, e se todos os elementos dos inteiros são atingidos pela função para sobrejetividade. Para resolver, vamos analisar passo a passo como a função está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função faz. Ela está definida da seguinte maneira:
ééí
Então, dependendo se é par ou ímpar, a função retorna um valor positivo ou negativo.
Passo 3
Vamos verificar se a função é injetora. Isso quer dizer que precisamos ver se valores diferentes de produzem valores diferentes de .
Caso 1: Se e são ambos pares e , então:
Caso 2: Se e são ambos ímpares e , então:
Caso 3: Se um é par e o outro ímpar, será positivo e será negativo, então eles nunca serão iguais.
Como em todos os casos, se então necessariamente , a função é injetora.
Passo 4
Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Isso significa que para todo inteiro , existe um tal que .
Para positivo: Podemos escolher . Como é par, temos:
Para : Se considerarmos que , então e:
Para negativo: Podemos escolher . Como será ímpar, temos:
Assim, para todo , existe um que satisfaz , então a função é sobrejetora.