Em cada caso, determine se a função é injetora e/ou sobrejetora, justificando sua resposta:
(d) v: N -> N dada por
u(n) = { n/2 se n é par, (n+1)/2 se n é ímpar }ééí

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a função dada por
ééí
é injetora e/ou sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que significam essas propriedades de função e como aplicá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa a função ser injetora. Uma função é injetora (ou injeção) se elementos diferentes no domínio (a entrada) resultam em elementos diferentes no contradomínio (a saída). Em outras palavras, não há dois valores de diferentes que dão o mesmo resultado em .
Para verificar isso, vamos analisar a função para números pares e ímpares.

Passo 3

Vamos considerar dois casos:
  1. Quando é par:
  2. Quando é ímpar:
Vamos ver se valores diferentes de podem resultar no mesmo .

Passo 4

Caso 1: Ambos os números são pares
Se e são pares e , então:
Então, não há problema aqui.

Passo 5

Caso 2: Ambos os números são ímpares
Se e são ímpares e , então:
Também não há problema aqui.

Passo 6

Caso 3: Um número é par e o outro é ímpar
Vamos ver se é possível ter:
í
Multiplicando ambos os lados por 2:
í
Isso significa que um número par é igual a um número ímpar mais 1. Por exemplo, se í, então . Vamos testar:
Então, , mesmo sendo . Portanto, existem diferentes valores de que resultam no mesmo .

Passo 7

Como encontramos que a função não é injetora, já que , podemos concluir que a função não é injetora.

Passo 8

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora (ou sobrejeção) se todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio .
Ou seja, para todo , existe pelo menos um tal que .

Passo 9

Vamos verificar se todos os números naturais podem ser obtidos pela função .
  1. Para :
  2. Para :
E assim por diante. Observamos que para qualquer , podemos escolher (par) ou (ímpar) para obter .

Passo 10

Como para todo existe pelo menos um tal que , a função é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora, mas é sobrejetora.

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