Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a região das mesmas: y = raiz(x), y = x^2 e x = 2.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de geometria analítica. A gente precisa esboçar (ou desenhar) a região limitada pelas curvas , e . Além disso, temos que calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam, encontrar os pontos onde elas se interceptam e depois usar integrais para calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada curva representa:
  • : Essa é uma parábola que abre para a direita. Para cada positivo, é a raiz quadrada de .
  • : Essa é uma parábola que abre para cima. Para cada , é o quadrado de .
  • : Essa é uma linha vertical que corta o eixo no ponto 2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para saber os limites da nossa região.
Primeiro, vamos igualar e :
Para resolver isso, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando a equação:
As soluções são e (pois ).
Então, as curvas e se intersectam nos pontos e .

Passo 4

Também temos a linha . Vamos ver onde ela cruza as outras curvas:
  • Para , se :
  • Para , se :
Então, a linha corta em e em .

Passo 5

Agora que temos todos os pontos de interseção, podemos esboçar a região limitada por essas curvas. Ela vai desde até , e entre as curvas e .

Passo 6

Para calcular a área dessa região, vamos usar o método da integração. A ideia é integrar a diferença entre as duas funções (a função de cima) e (a função de baixo) no intervalo de até , e depois somar a área da região de até onde a função de cima muda.
Primeiro, para , está acima de .
Depois, para , está acima de .

Passo 7

Vamos calcular as integrais:
Para :
Calculando cada parte:
Então:
Para :
Calculando cada parte:
Então:

Passo 8

Agora, somamos as duas áreas:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas , e é aproximadamente unidades quadradas.

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