Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a região das mesmas:
e
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de geometria analítica. A gente precisa esboçar (ou desenhar) a região limitada pelas curvas
,
e
. Além disso, temos que calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam, encontrar os pontos onde elas se interceptam e depois usar integrais para calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada curva representa:
-
: Essa é uma parábola que abre para a direita. Para cada positivo, é a raiz quadrada de . -
: Essa é uma parábola que abre para cima. Para cada , é o quadrado de . -
: Essa é uma linha vertical que corta o eixo no ponto 2.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para saber os limites da nossa região.
Primeiro, vamos igualar
e
:
Para resolver isso, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando a equação:
As soluções são
e
(pois
dá
).
Então, as curvas
e
se intersectam nos pontos
e
.
Passo 4
Também temos a linha
. Vamos ver onde ela cruza as outras curvas:
- Para
, se :
- Para
, se :
Então, a linha
corta
em
e
em
.
Passo 5
Agora que temos todos os pontos de interseção, podemos esboçar a região limitada por essas curvas. Ela vai desde
até
, e entre as curvas
e
.
Passo 6
Para calcular a área dessa região, vamos usar o método da integração. A ideia é integrar a diferença entre as duas funções
(a função de cima) e
(a função de baixo) no intervalo de
até
, e depois somar a área da região de
até
onde a função de cima muda.
Primeiro, para
,
está acima de
.
Depois, para
,
está acima de
.
Passo 7
Vamos calcular as integrais:
Para
:
Calculando cada parte:
Então:
Para
:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 8
Agora, somamos as duas áreas:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
,
e
é aproximadamente
unidades quadradas.