Em cada caso, determine se a função é injetora e/ou sobrejetora, justificando sua resposta:
© h: R -> R, dada por h(x) = 1/(x^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa função é injetora (ou seja, se cada saída tem apenas uma entrada correspondente) e/ou sobrejetora (se todo valor no conjunto de chegada é atingido por algum valor do conjunto de partida). Para isso, vamos usar os conceitos de injeção e sobrejeção e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então necessariamente .
Olha só, na nossa função , se a gente calcular e , vai ter:
Então, , mesmo que (a menos que ). Isso mostra que temos dois valores diferentes de entrada que dão o mesmo resultado, então a função não é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para isso, a gente precisa ver se todo número real tem pelo menos um que satisfaça .
Vamos analisar a expressão . Sabemos que é sempre maior ou igual a 0, então é sempre maior ou igual a 1. Isso significa que:
Além disso, conforme cresce (para valores positivos ou negativos), aumenta, fazendo se aproximar de 0, mas nunca chega a 0. Então, o alcance da função é o intervalo .
Como a função foi definida com o conjunto de chegada sendo , que inclui todos os números reais, mas o alcance de é apenas , existem muitos valores em que não são atingidos pela função. Portanto, a função não é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora nem sobrejetora.

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