Em cada caso, determine se a função é injetora e/ou sobrejetora, justificando sua resposta:
©
, dada por
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
definida por
. Nosso objetivo é descobrir se essa função é injetora (ou seja, se cada saída tem apenas uma entrada correspondente) e/ou sobrejetora (se todo valor no conjunto de chegada é atingido por algum valor do conjunto de partida). Para isso, vamos usar os conceitos de injeção e sobrejeção e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então necessariamente
.
Olha só, na nossa função
, se a gente calcular
e
, vai ter:
Então,
, mesmo que
(a menos que
). Isso mostra que temos dois valores diferentes de entrada que dão o mesmo resultado, então a função não é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para isso, a gente precisa ver se todo número real
tem pelo menos um
que satisfaça
.
Vamos analisar a expressão
. Sabemos que
é sempre maior ou igual a 0, então
é sempre maior ou igual a 1. Isso significa que:
Além disso, conforme
cresce (para valores positivos ou negativos),
aumenta, fazendo
se aproximar de 0, mas nunca chega a 0. Então, o alcance da função
é o intervalo
.
Como a função foi definida com o conjunto de chegada sendo
, que inclui todos os números reais, mas o alcance de
é apenas
, existem muitos valores em
que não são atingidos pela função. Portanto, a função não é sobrejetora.
Resposta
A função
não é injetora nem sobrejetora.