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Seja
a função dada por
.
(a) Prove que
é injetora.
Seja
(a) Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a função
é injetora. Isso está relacionado ao conceito de funções injetoras, que são aquelas onde cada valor de saída está ligado a apenas um valor de entrada. Para resolver isso, vamos usar a definição de injetividade e verificar se, quando
, então necessariamente
.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que
. Ou seja:
Isso é o ponto de partida para provar que
deve ser igual a
.
Passo 3
Agora, vamos eliminar as frações multiplicando em cruz. Isso significa multiplicar o numerador de uma fração pelo denominador da outra:
Passo 4
Vamos expandir os produtos usando a distributiva:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação para facilitar a comparação:
Simplificando os termos semelhantes:
Ou seja:
Passo 6
Dessa equação, podemos isolarr
:
Isso mostra que, se
, então necessariamente
, ou seja, cada entrada produz uma saída única.
Resposta
Portanto, a função
é injetora.