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Seja f: R-{1} -> R a função dada por f(x) = (3x - 2) / (x - 1).
(a) Prove que f é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a função é injetora. Isso está relacionado ao conceito de funções injetoras, que são aquelas onde cada valor de saída está ligado a apenas um valor de entrada. Para resolver isso, vamos usar a definição de injetividade e verificar se, quando , então necessariamente .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que . Ou seja:
Isso é o ponto de partida para provar que deve ser igual a .

Passo 3

Agora, vamos eliminar as frações multiplicando em cruz. Isso significa multiplicar o numerador de uma fração pelo denominador da outra:

Passo 4

Vamos expandir os produtos usando a distributiva:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação para facilitar a comparação:
Simplificando os termos semelhantes:
Ou seja:

Passo 6

Dessa equação, podemos isolarr :
Isso mostra que, se , então necessariamente , ou seja, cada entrada produz uma saída única.

Resposta

Portanto, a função é injetora.

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