Determine se cada integral é convergente ou divergente, sem necessariamente calculá-la
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a integral
converge ou diverge. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a análise. A função que estamos integrando é
. Podemos reescrever isso como:
Agora, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada termo separadamente para entender seu comportamento quando
tende ao infinito.
-
Primeiro termo:Isso significa que à medida que
aumenta, diminui, mas queremos saber se a área sob essa curva converge ou não. -
Segundo termo:Esse termo também diminui conforme
cresce, mas a taxa de diminuição é diferente.
Passo 4
Vamos utilizar o Teste da Comparação para determinar a convergência da integral. Esse teste compara nossa integral com outra cujo comportamento já conhecemos.
-
Para o primeiro termo (
): Sabemos que para a integral, ela converge se e diverge se . Aqui, , que é menor que 1. Portanto, a integral de diverge. -
Para o segundo termo (
): De novo, aplicando, vemos que a integral também diverge.
Passo 5
Como ambos os termos da nossa integral original
divergem individualmente, a soma deles também irá divergir. Portanto, a integral completa não converge.
Resposta
A integral
diverge.