Determine se cada integral é convergente ou divergente, sem necessariamente calculá-la
integral1^+infty raiz[3]x+7x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a integral converge ou diverge. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função quando tende ao infinito e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a análise. A função que estamos integrando é raiz[3]xx + 7x = x^-23 + 7x^-1 . Podemos reescrever isso como:
integral1^+infty ( x^-23 + 7x^-1 ) , dx
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada termo separadamente para entender seu comportamento quando tende ao infinito.
  1. Primeiro termo:
    Isso significa que à medida que aumenta, diminui, mas queremos saber se a área sob essa curva converge ou não.
  2. Segundo termo:
    Esse termo também diminui conforme cresce, mas a taxa de diminuição é diferente.

Passo 4

Vamos utilizar o Teste da Comparação para determinar a convergência da integral. Esse teste compara nossa integral com outra cujo comportamento já conhecemos.
  1. Para o primeiro termo ( ):
    Sabemos que para a integral , ela converge se e diverge se . Aqui, , que é menor que 1. Portanto, a integral de diverge.
  2. Para o segundo termo ( ):
    De novo, aplicando , vemos que a integral também diverge.

Passo 5

Como ambos os termos da nossa integral original divergem individualmente, a soma deles também irá divergir. Portanto, a integral completa não converge.

Resposta

A integral diverge.

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