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Em cada caso, determine se a função é injetora e/ou sobrejetora, justificando sua resposta:
(a)
, dada por
Em cada caso, determine se a função é injetora e/ou sobrejetora, justificando sua resposta:
(a)
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma função
definida por
. Vamos determinar se essa função é injetora e/ou sobrejetora.
Conteúdo da matéria: Injeção e sobrejeção de funções. Para resolver isso, precisamos lembrar as definições de funções injetoras e sobrejetoras e aplicar essas definições na função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se cada elemento do conjunto de chegada é imagem de no máximo um elemento do domínio. Em outras palavras, se
, então
deve ser igual a
.
Vamos supor que
:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo por 5:
Como apenas valores iguais de
e
satisfazem a igualdade, a função
é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo elemento
no conjunto de chegada
, existe pelo menos um elemento
no domínio
tal que
.
Temos que:
Resolvendo para
:
Para que
seja um número inteiro,
deve ser múltiplo de 5, ou seja,
. Isso significa que apenas números que deixam resto 2 quando divididos por 5 podem ser obtidos pela função. Portanto, nem todo
tem um
correspondente, então a função
não é sobrejetora.
Resposta
A função é injetora, mas não é sobrejetora.