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Em cada caso, determine se a função é injetora e/ou sobrejetora, justificando sua resposta:
(a) f: Z -> Z, dada por f(n) = 5n + 2

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma função definida por . Vamos determinar se essa função é injetora e/ou sobrejetora.
Conteúdo da matéria: Injeção e sobrejeção de funções. Para resolver isso, precisamos lembrar as definições de funções injetoras e sobrejetoras e aplicar essas definições na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se cada elemento do conjunto de chegada é imagem de no máximo um elemento do domínio. Em outras palavras, se , então deve ser igual a .
Vamos supor que :
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo por 5:
Como apenas valores iguais de e satisfazem a igualdade, a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo elemento no conjunto de chegada , existe pelo menos um elemento no domínio tal que .
Temos que:
Resolvendo para :
Para que seja um número inteiro, deve ser múltiplo de 5, ou seja, . Isso significa que apenas números que deixam resto 2 quando divididos por 5 podem ser obtidos pela função. Portanto, nem todo tem um correspondente, então a função não é sobrejetora.

Resposta

A função é injetora, mas não é sobrejetora.

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