Resolva |2x - 5| ≥ |x + 1|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Estamos trabalhando com valor absoluto e desigualdades, então vamos precisar entender quando as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal para resolver a inequação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de x onde as expressões dentro dos valores absolutos se igualam a zero:
  • Para , temos .
  • Para , temos .

Passo 3

Esses pontos dividem a linha dos números reais em intervalos onde as expressões dentro dos valores absolutos mantêm o mesmo sinal. Os intervalos são:

Passo 4

Vamos analisar cada intervalo separadamente, removendo os valores absolutos de acordo com o sinal das expressões:
Intervalo 1:
  • é negativo:
  • é negativo:
Substituindo na desigualdade:

Passo 5

Resolvendo a desigualdade do Intervalo 1:

Adicionamos em ambos os lados:
Somamos 1 em ambos os lados:

Ou seja,
Como estamos no intervalo , a solução aqui é .

Passo 6

Intervalo 2:
  • é negativo:
  • é positivo:
Substituindo na desigualdade:

Passo 7

Resolvendo a desigualdade do Intervalo 2:

Subtraímos x de ambos os lados:
Subtraímos de ambos os lados:

Dividimos por (lembrando que inverte o sinal da desigualdade):
Neste intervalo ( ), a solução é .

Passo 8

Intervalo 3:
  • é positivo:
  • é positivo:
Substituindo na desigualdade:

Passo 9

Resolvendo a desigualdade do Intervalo 3:

Subtraímos x de ambos os lados:
Somamos em ambos os lados:
Neste intervalo ( ), a solução é .

Resposta

A solução da desigualdade é:

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