Resolva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. Aqui, estamos trabalhando com funções polinomiais e queremos descobrir para quais valores de
o produto desses dois polinômios é maior ou igual a zero. Para isso, vamos precisar encontrar as raízes de cada fator e analisar os sinais nos intervalos determinados por essas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o primeiro fator
. Podemos fatorar o 2:
Agora, nossa desigualdade fica:
Como o 2 é positivo, ele não afeta a desigualdade, então podemos ignorá-lo para facilitar.
Passo 3
Vamos agora encontrar as raízes do segundo fator
. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:
Portanto:
Passo 4
Agora temos as raízes de ambos os fatores:
- Do
, a raiz é . - Do
, as raízes são e .
Vamos listar todas as raízes e ordenar:
Passo 5
Com as raízes em mãos, dividimos a linha dos números em intervalos determinados por essas raízes:
Vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo.
Passo 6
Escolha um número de cada intervalo e substitua na expressão
:
- Para
, vamos escolher :
- Para
, vamos escolher :
- Para
, vamos escolher :
Passo 7
Agora, sabemos onde a expressão é positiva ou negativa:
- Negativa para
. - Positiva para
. - Positiva para
.
Como a desigualdade é maior ou igual a zero, incluímos onde a expressão é positiva e onde é igual a zero.
Passo 8
As soluções são os intervalos onde a expressão é positiva ou zero, ou seja:
Resposta
A solução da desigualdade é
.