Resolva (2x - 4)(x² + x - 6) ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Aqui, estamos trabalhando com funções polinomiais e queremos descobrir para quais valores de o produto desses dois polinômios é maior ou igual a zero. Para isso, vamos precisar encontrar as raízes de cada fator e analisar os sinais nos intervalos determinados por essas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o primeiro fator . Podemos fatorar o 2:
Agora, nossa desigualdade fica:
Como o 2 é positivo, ele não afeta a desigualdade, então podemos ignorá-lo para facilitar.

Passo 3

Vamos agora encontrar as raízes do segundo fator . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:
Portanto:

Passo 4

Agora temos as raízes de ambos os fatores:
  • Do , a raiz é .
  • Do , as raízes são e .
Vamos listar todas as raízes e ordenar:

Passo 5

Com as raízes em mãos, dividimos a linha dos números em intervalos determinados por essas raízes:
Vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo.

Passo 6

Escolha um número de cada intervalo e substitua na expressão :
  1. Para , vamos escolher :
  1. Para , vamos escolher :
  1. Para , vamos escolher :

Passo 7

Agora, sabemos onde a expressão é positiva ou negativa:
  • Negativa para .
  • Positiva para .
  • Positiva para .
Como a desigualdade é maior ou igual a zero, incluímos onde a expressão é positiva e onde é igual a zero.

Passo 8

As soluções são os intervalos onde a expressão é positiva ou zero, ou seja:

Resposta

A solução da desigualdade é .

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