Sejam
e
conjuntos e
uma função. Sejam também
e
.
© Mostre que
.
© Mostre que
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pediu. Temos dois conjuntos,
e
, e uma função
. Também temos subconjuntos
e
. A tarefa é mostrar que
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam a imagem de uma função e o inverso de uma função aplicado a um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o inverso de uma função aplicado a um conjunto. O conjunto
é chamado de pré-imagem de
por
e consiste em todos os elementos de
que são mapeados para algum elemento em
. Em termos matemáticos:
Isso significa que estamos coletando todos os
em
que, quando passados pela função
, resultam em elementos que estão dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que significa
. Isso é a imagem da função
aplicada ao conjunto
. Ou seja:
Cada elemento aqui é o resultado de aplicar
a um elemento que já está na pré-imagem de
.
Passo 4
Observando a definição de
, sabemos que para todo
, temos que
. Portanto, quando aplicamos
a esses
, os resultados
já estão dentro de
. Isso implica que todos os elementos de
estão em
.
Resposta
Concluímos que
.