Sejam X e Y conjuntos e f: X -> Y uma função. Sejam também A ⊆ X e B ⊆ Y.
© Mostre que f[f^{-1}(B)] ⊆ B.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pediu. Temos dois conjuntos, e , e uma função . Também temos subconjuntos e . A tarefa é mostrar que . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam a imagem de uma função e o inverso de uma função aplicado a um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o inverso de uma função aplicado a um conjunto. O conjunto é chamado de pré-imagem de por e consiste em todos os elementos de que são mapeados para algum elemento em . Em termos matemáticos:
Isso significa que estamos coletando todos os em que, quando passados pela função , resultam em elementos que estão dentro de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o que significa . Isso é a imagem da função aplicada ao conjunto . Ou seja:
Cada elemento aqui é o resultado de aplicar a um elemento que já está na pré-imagem de .

Passo 4

Observando a definição de , sabemos que para todo , temos que . Portanto, quando aplicamos a esses , os resultados já estão dentro de . Isso implica que todos os elementos de estão em .

Resposta

Concluímos que .

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