Em cada caso determine se a matriz é diagonalizável e em caso afirmativo determine a matriz P que diagonaliza A
(d) [ll 5 & 4 2 & 3 ]

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a matriz
A = 5 & 42 & 3
é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz P que realize a diagonalização. O conteúdo envolvido é cálculo de valores e vetores próprios para montar a diagonalização P^-1AP=D.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!5-lambda & 42 & 3-lambda =(5-lambda)(3-lambda)-8 =lambda^2-8lambda+7

Passo 3

As raízes de
lambda^2-8lambda+7=0
são
lambda = 8pmraiz64-282 =8pm62,
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lambda1=1 e lambda2=7. Como são valores próprios distintos, A é diagonalizável.

Passo 4

Agora obtemos um vetor próprio para cada valor:
Para , resolvemos
podendo escolher .
Para , resolvemos
podendo escolher .

Passo 5

Formamos a matriz P com os vetores próprios como colunas:
P = 1 & 2-1 & 1
Então P^-1AP = diag(1,7).

Resposta

A matriz A é diagonalizável e uma escolha válida de P é
P = 1 & 2-1 & 1

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