Verifique que os conjuntos munidos das operações abaixo são grupos abelianos.
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Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
, munido da multiplicação usual de números complexos, é um grupo abeliano. Vamos verificar os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos) e em seguida a comutatividade.
Passo 2
Verificação do fechamento: sejam
. Então
e
. A multiplicação de complexos satisfaz
e além disso
(produto de dois números não nulos não é zero). Logo
, garantindo o fechamento.
Passo 3
Verificação da associatividade: sabemos que a multiplicação em
é associativa, isto é, para quaisquer
vale
Portanto, a associatividade está garantida em
.
Passo 4
Existência do elemento neutro: o número
satisfaz
, então
. Para todo
temos
Logo
é o elemento neutro da multiplicação.
Passo 5
Existência de inversos: seja
. Como
, existe o inverso multiplicativo em
,
que também não é zero. E satisfaz
Portanto, todo elemento de
tem inverso em
.
Passo 6
Verificação da comutatividade: a multiplicação de complexos é comutativa, ou seja, para quaisquer
vale
Isso mostra que o grupo é abeliano.
Resposta
O conjunto
, com a operação de multiplicação, satisfaz todos os axiomas de grupo e ainda é comutativo. Portanto,
é um grupo abeliano.