Verifique que os conjuntos munidos das operações abaixo são grupos abelianos.
(C^*,);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto C^* = Csetminus0, munido da multiplicação usual de números complexos, é um grupo abeliano. Vamos verificar os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos) e em seguida a comutatividade.

Passo 2

Verificação do fechamento: sejam z,winC^*. Então zneq0 e wneq0. A multiplicação de complexos satisfaz
zcdot winC
e além disso zcdot wneq0 (produto de dois números não nulos não é zero). Logo zcdot winC^*, garantindo o fechamento.

Passo 3

Verificação da associatividade: sabemos que a multiplicação em C é associativa, isto é, para quaisquer z,w,uinC^* vale
(zcdot w)cdot u = zcdot (wcdot u)
Portanto, a associatividade está garantida em C^*.

Passo 4

Existência do elemento neutro: o número 1inC satisfaz 1neq0, então 1inC^*. Para todo zinC^* temos
1cdot z = zcdot 1 = z
Logo 1 é o elemento neutro da multiplicação.

Passo 5

Existência de inversos: seja zinC^*. Como zneq0, existe o inverso multiplicativo em C,
z^-1 = 1z,
que também não é zero. E satisfaz
zcdot z^-1 = z^-1cdot z = 1
Portanto, todo elemento de C^* tem inverso em C^*.

Passo 6

Verificação da comutatividade: a multiplicação de complexos é comutativa, ou seja, para quaisquer z,winC^* vale
zcdot w = wcdot z
Isso mostra que o grupo é abeliano.

Resposta

O conjunto C^*, com a operação de multiplicação, satisfaz todos os axiomas de grupo e ainda é comutativo. Portanto, l(C^*,cdotr) é um grupo abeliano.

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