Considere o conjunto
munido de uma operação
dada pela tábua:
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e | a | b | c |
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a | e | c | b |
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b | c | e | a |
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c | b | a | e |
Determine se
é um grupo.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com a operação binária
cujo “Cayley-table” é
e pergunta se
é um grupo. Para ser grupo, precisamos checar:
- Fechamento;
- Existência de elemento neutro;
- Existência de inversos;
- Associatividade.
Passo 2
Fechamento e neutro.
- Fechamento: a tabela só usa entradas de
, logo para todo . - Neutro: pela primeira linha e coluna temos
para todo
. Assim
é elemento neutro.
Inversos. Cada linha (e cada coluna) contém exatamente um “
”, o que dá o inverso único de cada elemento. Da tabela vemos:
logo cada um de
é seu próprio inverso, e
.
Passo 3
Associatividade. Em princípio seria preciso conferir
para todas as
escolhas, mas há um jeito mais elegante. Repare que
-
é comutativa ( pela simetria da tabela), - todo elemento tem ordem 2 (exceto
, que tem ordem 1).
Isso coincide exatamente com a estrutura do grupo
, onde cada componente vale
ou
em aritmética módulo 2. Definimos o mapeamento
É fácil checar que
isto é,
é isomorfismo de estruturas binárias. Como
é um grupo (associativo), segue que
também é associativo.
Passo 4
Juntando tudo:
- fechamento e neutro estão garantidos pela tabela,
- cada elemento tem inverso,
- associatividade decorre do isomorfismo com
.
Portanto
satisfaz os quatro axiomas de grupo. Ainda por cima é abeliano e isomorfo ao grupo de Klein de ordem 4.
Resposta
O par
é de fato um grupo (o grupo de Klein
).