Considere o conjunto E=e, a, b, c munido de uma operação * dada pela tábua:
* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
Determine se (E, *) é um grupo.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
E = e,a,b,c
com a operação binária * cujo “Cayley-table” é
c|cccc *&e&a&b&chline e&e&a&b&c a&a&e&c&b b&b&c&e&a c&b&a&e
e pergunta se (E,*) é um grupo. Para ser grupo, precisamos checar:
  1. Fechamento;
  2. Existência de elemento neutro;
  3. Existência de inversos;
  4. Associatividade.

Passo 2

Fechamento e neutro.
  1. Fechamento: a tabela só usa entradas de E, logo x*yin E para todo x,y.
  2. Neutro: pela primeira linha e coluna temos
e*x = x e x*e = x
para todo xin E. Assim e é elemento neutro.
Inversos. Cada linha (e cada coluna) contém exatamente um “ e”, o que dá o inverso único de cada elemento. Da tabela vemos:
a*a = e, b*b = e, c*c = e,
logo cada um de a,b,c é seu próprio inverso, e e^-1=e.

Passo 3

Associatividade. Em princípio seria preciso conferir
(x*y)*z = x*(y*z)
para todas as 4^3=64 escolhas, mas há um jeito mais elegante. Repare que
  1. * é comutativa ( x*y=y*x pela simetria da tabela),
  2. todo elemento tem ordem 2 (exceto e, que tem ordem 1).
Isso coincide exatamente com a estrutura do grupo Z2times Z2, onde cada componente vale 0 ou 1 em aritmética módulo 2. Definimos o mapeamento
varphicolon Eto Z2times Z2, varphi(e)=(0,0),;varphi(a)=(1,0),;varphi(b)=(0,1),;varphi(c)=(1,1)
É fácil checar que
varphi(x*y) =varphi(x)+varphi(y) (soma em Z2times Z2),
isto é, varphi é isomorfismo de estruturas binárias. Como Z2times Z2 é um grupo (associativo), segue que (E,*) também é associativo.

Passo 4

Juntando tudo:
  • fechamento e neutro estão garantidos pela tabela,
  • cada elemento tem inverso,
  • associatividade decorre do isomorfismo com Z2times Z2.
Portanto (E,*) satisfaz os quatro axiomas de grupo. Ainda por cima é abeliano e isomorfo ao grupo de Klein de ordem 4.

Resposta

O par (E,*) é de fato um grupo (o grupo de Klein V4).

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