Seja
um grupo e considere
. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado diz que em um grupo
com elementos
devemos mostrar que o inverso do produto
é
Para isso vamos usar a definição de inverso em grupos: dado
, seu inverso
é o único elemento que satisfaz
onde
é o elemento neutro de
.
Passo 2
Vamos verificar que
satisfaz as duas condições de ser inverso de
. Primeiro o produto à direita:
Agora o produto à esquerda:
Portanto
é tanto inverso à direita quanto inverso à esquerda de
.
Passo 3
Como em um grupo o inverso de cada elemento é único, concluímos que o inverso de
só pode ser
. Logo