Seja G um grupo e considere g, h, k in G. Prove que:
(g h)^-1=h^-1 g^-1.

Passo 1

O enunciado diz que em um grupo G com elementos g,hin G devemos mostrar que o inverso do produto gh é
(gh)^-1 ;=; h^-1g^-1
Para isso vamos usar a definição de inverso em grupos: dado ain G, seu inverso a^-1 é o único elemento que satisfaz
a,a^-1=e e a^-1a=e,
onde e é o elemento neutro de G.

Passo 2

Vamos verificar que h^-1g^-1 satisfaz as duas condições de ser inverso de gh. Primeiro o produto à direita:
(gh),(h^-1g^-1) = g,(h,h^-1),g^-1 = g,e,g^-1 = g,g^-1 = e
Agora o produto à esquerda:
(h^-1g^-1),(gh) = h^-1,(g^-1g),h = h^-1,e,h = h^-1h = e
Portanto h^-1g^-1 é tanto inverso à direita quanto inverso à esquerda de gh.

Passo 3

Como em um grupo o inverso de cada elemento é único, concluímos que o inverso de gh só pode ser h^-1g^-1. Logo
(gh)^-1=h^-1g^-1

Resposta

(gh)^-1=h^-1g^-1.

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