Em cada caso determine se a matriz é diagonalizável e em caso afirmativo determine a matriz que diagonaliza
(c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A= 2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 2
é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz P que a diagonalize. Para isso vamos calcular os autovalores de A, suas multiplicidades algébrica e geométrica, e comparar.
Passo 2
Como A é triangular superior, seus autovalores são simplesmente as entradas da diagonal. Logo
Autovalor: lambda=2,
com multiplicidade algébrica igual a 3.
Passo 3
Para obter a multiplicidade geométrica de lambda=2 resolvemos
(A-2I)x=0
Temos
A-2I= 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ,
de onde as equações são
x2=0, x3=0,
e x1 livre. Assim
dimker(A-2I)=1
Passo 4
A matriz A será diagonalizável somente se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica igualar a multiplicidade algébrica. Aqui para lambda=2 temos multiplicidade algébrica 3 e geométrica 1, logo não há uma base de R^3 formada por autovetores de A.