Construir a tábua do grupo diedral de ordem 10.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos a tábua de multiplicação do grupo diedral de ordem 10, que denotaremos por D5. Esse grupo é formado pelas simetrias de um pentágono regular e tem 10 elementos: 5 rotações
r^0=1,;r,;r^2,;r^3,;r^4,
com r^5=1,
e 5 reflexões
s,;r,s,;r^2s,;r^3s,;r^4s,
com s^2=1 e a relação de comutação
s,r = r^-1,s = r^4,s
Usaremos essas relações para montar a tábua.

Passo 2

Primeiro definimos as regras gerais de multiplicação:
1. Duas rotações compõem-se por soma de expoentes módulo 5:
r^i,r^j=r^,i+j!!pmod5
2. Rotação seguida de reflexão produz uma reflexão:
r^i,(r^js)=r^,i+js
3. Reflexão seguida de rotação pula o expoente no sentido inverso:
(r^is),r^j=r^,i-j!!pmod5s
4. Duas reflexões compõem-se numa rotação:
(r^is),(r^js)=r^,i-j!!pmod5

Passo 3

Com essas fórmulas em mãos, basta listar os 10 elementos na primeira linha e na primeira coluna, e preencher cada entrada pela regra correspondente.

Passo 4

Organizando em uma tabela Markdown, temos:

Resposta

cdot 1 r r^2 r^3 r^4 s r,s r^2s r^3s r^4s
1 1 r r^2 r^3 r^4 s r,s r^2s r^3s r^4s
r r r^2 r^3 r^4 1 r,s r^2s r^3s r^4s s
r^2 r^2 r^3 r^4 1 r r^2s r^3s r^4s s r,s
r^3 r^3 r^4 1 r r^2 r^3s r^4s s r,s r^2s
r^4 r^4 1 r r^2 r^3 r^4s s r,s r^2s r^3s
s s r^4s r^3s r^2s r,s 1 r^4 r^3 r^2 r
r,s r,s s r^4s r^3s r^2s r 1 r^4 r^3 r^2
r^2s r^2s r,s s r^4s r^3s r^2 r 1 r^4 r^3
r^3s r^3s r^2s r,s s r^4s r^3 r^2 r 1 r^4
r^4s r^4s r^3s r^2s r,s s r^4 r^3 r^2 r 1

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