Em cada caso determine se a matriz é diagonalizável e em caso afirmativo determine a matriz que diagonaliza
(b)
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = 2 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
e pede para verificar se A é diagonalizável. O conteúdo envolvido é diagonalização de matrizes, para o qual precisamos achar os valores próprios (eigenvalues) e comparar a multiplicidade algébrica com a geométrica de cada um.
Passo 2
Como A é triangular, os valores próprios são as entradas da diagonal: lambda1=2 com multiplicidade algébrica 2 e lambda2=3 com multiplicidade algébrica 1.
Passo 3
Vamos achar o autovetor para lambda2=3 resolvendo
(A-3I)x=0
Temos
A-3I= -1 & 1 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 ,
que gera as equações
-x1 + x2 = 0, -x2 = 0, 0=0
Da segunda equação vem x2=0, daí x1=0, e x3 fica livre. Um autovetor correspondente é
v2 = 001
Passo 4
Agora para lambda1=2 resolvemos
(A-2I)x=0
Aqui
A-2I= 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ,
de onde saem
x2=0, x3=0, x1 livre
Portanto a única direção de autovetores é
v1 = 100,
e a dimensão do espaço próprio de lambda=2 é 1.
Passo 5
Como a multiplicidade geométrica de lambda=2 (que é 1) é menor que sua multiplicidade algébrica (que é 2), não conseguimos três vetores próprios independentes. Logo A não é diagonalizável.