Use a regra de Cramer para determinar a solução dos seguintes sistemas de equações
x1+2 x2+3 x3 & =14 2 x1-x2+x3 & =3 x1+x2-x3 & =2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
usando a regra de Cramer. Para isso, montamos a matriz dos coeficientes
e, em seguida, calculamos e os determinantes das matrizes obtidas ao substituir cada coluna de pelo vetor dos termos constantes .

Passo 2

Calculamos o determinante principal det(A). Aplicando a regra de Sarrus ou a expansão por co-fatores,
det(A) =1cdot-1 & 11 & -1 -2cdot2 & 11 & -1 +3cdot2 & -11 & 1
Agora cada subdeterminante:
-1 & 11 & -1=(-1)(-1)-1cdot1=0, 2 & 11 & -1=2cdot(-1)-1cdot1=-3,
2 & -11 & 1=2cdot1-(-1)cdot1=3
Logo,
det(A)=1cdot0-2cdot(-3)+3cdot3=0+6+9=15

Passo 3

Substituímos a primeira coluna de A pelo vetor (14,3,2) para obter A1 e calculamos det(A1):
A1= 14 & 2 & 3 3 & -1 & 1 2 & 1 & -1 ,
det(A1) =14cdot-1 & 11 & -1 -2cdot3 & 12 & -1 +3cdot3 & -12 & 1 =14cdot0-2cdot(-5)+3cdot5=0+10+15=25

Passo 4

Substituímos a segunda coluna de A pelo vetor (14,3,2) para obter A2 e calculamos det(A2):
A2= 1 & 14 & 3 2 & 3 & 1 1 & 2 & -1 ,
det(A2) =1cdot3 & 12 & -1 -14cdot2 & 11 & -1 +3cdot2 & 31 & 2 =1cdot(-5)-14cdot(-3)+3cdot1=-5+42+3=40

Passo 5

Substituímos a terceira coluna de A pelo vetor (14,3,2) para obter A3 e calculamos det(A3):
A3= 1 & 2 & 14 2 & -1 & 3 1 & 1 & 2 ,
det(A3) =1cdot-1 & 31 & 2 -2cdot2 & 31 & 2 +14cdot2 & -11 & 1 =1cdot(-5)-2cdot1+14cdot3=-5-2+42=35

Passo 6

Pela regra de Cramer, cada variável é dada por
xi = det(Ai)det(A)
Portanto,
x1 = 2515 = 53, x2 = 4015 = 83, x3 = 3515 = 73

Resposta

x1=tfrac53,;x2=tfrac83,;x3=tfrac73

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