Sejam T: V V um isomorfismo e lang<=cdot, cdotrang<= um produto interno em V. Mostre que a função PT: V times V R definida por PT(u, v)=lang<= T u, T vrang<= também é um produto interno.
Seja B=v1, v2, v3, v4 uma base ortonormal do espaço euclidiano V. Calcule o produto interno
lang<=alpha1 v1+alpha2 v2+alpha3 v3+alpha4 v4, beta1 v1+beta2 v2+beta3 v3+beta4 v4rang<=
onde alphaj, betaj in R para todo j=1,2,3,4.

Passo 1

O enunciado dá um isomorfismo linear T:Vto V e um produto interno lang<=cdot,cdotrang<= em V. Define-se
PT(u,v)=lang<= T u,,T vrang<=
Precisamos mostrar que PT satisfaz as três propriedades de um produto interno (bilinearidade, simetria e definição positiva) e, em seguida, calcular
llang<= sumj=1^4alphaj vj,;sumj=1^4betaj vjrrang<=
para uma base ortonormal B=v1,v2,v3,v4.

Passo 2

(Bilinearidade) Para quaisquer u,u',vin V e escalares a,binR, usando a linearidade de T e de lang<=cdot,cdotrang<= em cada argumento, temos
PTl(a,u + b,u',,vr) =lang<= T(a,u + b,u'),,T vrang<= =lang<= a,T u + b,T u',,T vrang<= =a,lang<= T u,,T vrang<= + b,lang<= T u',,T vrang<= =a,PT(u,v) + b,PT(u',v)
Analogamente mostra-se linearidade em segundo argumento. Logo PT é bilinear.

Passo 3

(Simetria) Para quaisquer u,vin V,
PT(u,v) =lang<= T u,,T vrang<= =lang<= T v,,T urang<= =PT(v,u),
pois lang<=cdot,cdotrang<= é simétrico.

Passo 4

(Positividade definida) Para todo vin V,
PT(v,v) =lang<= T v,,T vrang<=
Como T é isomorfismo, T v=0 se e só se v=0. E lang<= w,wrang<=>0 sempre que wneq0. Portanto
PT(v,v)>0se (vneq0), PT(v,v)=0iff v=0
Isso mostra a definição positiva.

Passo 5

(Cálculo na base ortonormal) Se x=sumj=1^4alphaj vj e y=sumj=1^4betaj vj e vj é ortonormal, então
lang<= x,yrang<= =llang<=sumj=1^4alphaj vj,;sumk=1^4betak vkrrang<= =sumj=1^4sumk=1^4alphajbetak,lang<= vj,vkrang<= =sumj=1^4alphajbetaj,
pois lang<= vj,vkrang<==de<ajk.

Resposta

Portanto PT é de fato um produto interno em V, e para
,x=sumj=1^4alphaj vj,
,y=sumj=1^4betaj vj,
temos
lang<= x,yrang<==sumj=1^4alphajbetaj

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