Sejam
um isomorfismo e
um produto interno em
. Mostre que a função
definida por
também é um produto interno.
Seja
uma base ortonormal do espaço euclidiano
. Calcule o produto interno
onde
para todo
.
Seja
Passo 1
O enunciado dá um isomorfismo linear
e um produto interno
em
. Define-se
Precisamos mostrar que
satisfaz as três propriedades de um produto interno (bilinearidade, simetria e definição positiva) e, em seguida, calcular
para uma base ortonormal .
para uma base ortonormal
Passo 2
(Bilinearidade) Para quaisquer
e escalares
, usando a linearidade de
e de
em cada argumento, temos
Analogamente mostra-se linearidade em segundo argumento. Logo
é bilinear.
Passo 3
(Simetria) Para quaisquer
,
pois
é simétrico.
Passo 4
(Positividade definida) Para todo
,
Como
é isomorfismo,
se e só se
. E
sempre que
. Portanto
Isso mostra a definição positiva.
Passo 5
(Cálculo na base ortonormal) Se
e
e
é ortonormal, então
pois
.
Resposta
Portanto
é de fato um produto interno em
, e para
,
,
temos
temos