Dada a base (1,2,-2),(4,3,2),(1,2,1) de R^3, obtenha uma base ortonormal aplicando o processo de Gram-Schmidt.

Passo 1

O enunciado dá uma base v1,v2,v3 de R^3 com
v1=(1,2,-2), v2=(4,3,2), v3=(1,2,1)
e pede para obter uma base ortonormal usando o processo de Gram–Schmidt.
Vamos lembrar que o método gera vetores ortogonais u1,u2,u3 a partir de v1,v2,v3 e depois normaliza cada um:
ei = ui|ui|

Passo 2

Primeiro escolhemos
u1 = v1 = (1,2,-2)
O comprimento de u1 é
|u1| = raiz1^2 + 2^2 + (-2)^2 = raiz1+4+4 = 3
Logo o primeiro vetor ortonormal é
e1 = u1|u1| = l(tfrac13,tfrac23,-tfrac23r)

Passo 3

Agora construímos
onde
Assim
O comprimento de é
Logo

Passo 4

Finalmente,
Calculamos
,
,
,
. Então
Logo
Notamos que
então já está normalizado:

Resposta

Uma base ortonormal obtida é
e1 = l(tfrac13,tfrac23,-tfrac23r), e2 = l(tfrac23,tfrac13,tfrac23r), e3 = l(-tfrac23,tfrac23,tfrac13r)

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