Em cada caso determine a matriz da forma el e da forma erl, linha-equivalente a matriz dada. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a matriz dada em duas formas especiais: a forma escalonada de linha (forma el) e a forma escalonada reduzida de linha (forma erl). Para isso, vamos usar operações de linha, que são tipo “truques” matemáticos para simplificar a matriz sem mudar suas propriedades principais. Vamos precisar mexer com multiplicação de linhas por números, trocar linhas de posição e somar múltiplos de uma linha com outra. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira coluna da matriz:
3 & -2 & 0 2 & -1 & -1 4 & -3 & 1
Queremos que o primeiro número (que chamamos de pivô) seja 1 para facilitar as coisas. Então, vamos dividir toda a primeira linha por 3:
1 & -23 & 0 2 & -1 & -1 4 & -3 & 1
Isso deixa o pivô igual a 1, o que é mais fácil para as próximas etapas.
Passo 3
Agora, vamos usar esse pivô para zerar os números abaixo dele na primeira coluna. Ou seja, queremos que os números 2 e 4 na primeira coluna virem 0.
Para zerar o 2 na segunda linha, fazemos:
Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1
E para zerar o 4 na terceira linha, fazemos:
Linha 3 = Linha 3 - 4 * Linha 1
Aplicando isso:
Linha 2:
2 - 2 times 1 = 0 -1 - 2 times (-23) = -1 + 43 = 13 -1 - 2 times 0 = -1
Linha 3:
4 - 4 times 1 = 0 -3 - 4 times (-23) = -3 + 83 = -13 1 - 4 times 0 = 1
A matriz fica assim:
1 & -23 & 0 0 & 13 & -1 0 & -13 & 1
Passo 4
Agora, vamos para a segunda coluna. Queremos que o segundo pivô (agora na posição (2,2)) seja 1. Atualmente, ele é 13, então vamos multiplicar a segunda linha por 3:
1 & -23 & 0 0 & 1 & -3 0 & -13 & 1
Pronto, agora o pivô da segunda linha é 1.
Passo 5
Vamos usar esse novo pivô para zerar os números acima e abaixo dele na segunda coluna. Primeiro, zerar o -23 na primeira linha e depois o -13 na terceira linha.
Para zerar -23 na primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 + 23 * Linha 2
Para zerar -13 na terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 13 * Linha 2
Aplicando isso:
Linha 1:
1 + 23 times 0 = 1 -23 + 23 times 1 = 0 0 + 23 times (-3) = -2
Linha 3:
0 + 13 times 0 = 0 -13 + 13 times 1 = 0 1 + 13 times (-3) = 0
A matriz fica assim:
1 & 0 & -2 0 & 1 & -3 0 & 0 & 0
Passo 6
Chegamos na forma escalonada de linha (forma el)! Nessa forma, a matriz tem uma escada de números 1 (pivôs) e zeros abaixo deles. Agora, para transformar isso na forma escalonada reduzida de linha (forma erl), vamos garantir que cada pivô seja o único número diferente de zero na sua coluna.
Como já temos zeros abaixo dos pivôs, vamos agora garantir que também temos zeros acima deles.
Na nossa matriz atual:
1 & 0 & -2 0 & 1 & -3 0 & 0 & 0
Vemos que acima do pivô 1 na segunda coluna já está com zero, então não precisamos fazer mais nada para a forma erl.
Resposta
A matriz na forma escalonada de linha (forma el) é:
1 & 0 & -2 0 & 1 & -3 0 & 0 & 0
E a matriz na forma escalonada reduzida de linha (forma erl) é a mesma: