Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique cada resposta para melhor compreender a teoria.
(d) Se an>0, forall n, e lim n infty an=0, então a série sumn=1^infty anraizn converge.

Passo 1

O enunciado afirma que, para toda sequência (an) com an>0 e limntoinftyan=0, a série
sumn=1^inftyanraizn
converge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries pelo teste da integral (ou teste da condensação de Cauchy). Para refutar a afirmação basta encontrar um contraexemplo: uma sequência an>0 que tende a 0, mas faz a série divergir.

Passo 2

Definimos
an = 1log(n+1).
Então para todo n>=1 temos an>0 e, como log(n+1)toinfty, limntoinftyan=0.

Passo 3

Considere a série
sumn=2^inftyanraizn = sumn=2^infty1raizn,log(n+1)
Aplicamos o teste da integral a f(x)=1/(raizx,log(x+1)). Para x>=3, log(x+1)<=2log x, então
1raizx,log(x+1)>=12,raizx,log x
Logo,
integral3^inftydxraizx,log(x+1) >= 12integral3^inftydxraizx,log x
Na segunda integral faço a substituição t=raizx, dx=2t,dt:
integral3^inftydxraizx,log x = integralraiz3^infty2t,dttcdot 2log t = integralraiz3^inftydtlog t = infty,
pois integral^inftydt/log t diverge. Assim a série original diverge.

Passo 4

Encontramos uma sequência com an>0, lim an=0 e, mesmo assim,
sum an/raizn diverge. Isso mostra que a afirmação é falsa.

Resposta

(F)

Exercícios relacionados