Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique cada resposta para melhor compreender a teoria.
(d) Se
, e
, então a série
converge.
(d) Se
Passo 1
O enunciado afirma que, para toda sequência
com
e
, a série
converge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries pelo teste da integral (ou teste da condensação de Cauchy). Para refutar a afirmação basta encontrar um contraexemplo: uma sequência
que tende a 0, mas faz a série divergir.
Passo 2
Definimos
.
Então para todo temos
e, como
,
.
Então para todo
Passo 3
Considere a série
Aplicamos o teste da integral a
. Para
,
, então
Logo,
Na segunda integral faço a substituição
,
:
pois
diverge. Assim a série original diverge.
Passo 4
Encontramos uma sequência com
,
e, mesmo assim,
diverge. Isso mostra que a afirmação é falsa.
Resposta
(F)