(6,0) Em cada caso, determine os 5 primeiros termos da sequência e, em seguida, deternuine so a sequência converge ou diverge:
a_{n}=\frac{(2 n-1)!}{(2 n+1)!}

Passo 1

O enunciado define a sequência
\displaystyle a_n = \frac{(2n-1)!}{(2n+1)!}
e pede os cinco primeiros termos e, em seguida, verificar se a sequência converge ou diverge. Vamos usar propriedades de fatorial e cálculo de limite de sequência.

Passo 2

Aplicamos a relação
(2n+1)! = (2n+1)\,(2n)\,(2n-1)!
para simplificar a_n:
a_n = \frac{(2n-1)!}{(2n+1)!} = \frac{(2n-1)!}{(2n+1)\,(2n)\,(2n-1)!} = \frac{1}{2n\,(2n+1)}.

Passo 3

Substituindo n=1,2,3,4,5 em \displaystyle a_n=\frac{1}{2n(2n+1)}, obtemos:
a_1 = \frac{1}{2\cdot1\,(2\cdot1+1)} = \frac{1}{6},\quad a_2 = \frac{1}{2\cdot2\,(2\cdot2+1)} = \frac{1}{20},
a_3 = \frac{1}{2\cdot3\,(2\cdot3+1)} = \frac{1}{42},\quad a_4 = \frac{1}{2\cdot4\,(2\cdot4+1)} = \frac{1}{72},
a_5 = \frac{1}{2\cdot5\,(2\cdot5+1)} = \frac{1}{110}.

Passo 4

Para verificar convergência, calculamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n\,(2n+1)} = 0.
Como o limite existe e é finito, a sequência converge.

Resposta

Os cinco primeiros termos são
\displaystyle \frac{1}{6}, \frac{1}{20}, \frac{1}{42}, \frac{1}{72}, \frac{1}{110}.
A sequência converge e seu limite é 0.

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