Questão 13.(2,00 pontos) Use o Exercício 11 para provar que para p primo:
(x+y)^{p} \equiv x^{p}+y^{p} \quad(\bmod p), \quad \forall x, y \in \mathbb{Z}

Passo 1

O enunciado pede que provemos a congruência
(x+y)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}\pmod{p}
para todo x,y\in\mathbb{Z} e p primo. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Binômio e o resultado do Exercício 11, que afirma que, para 1\le k\le p-1,
p \mid \binom{p}{k}.

Passo 2

Aplicamos o Teorema do Binômio a (x+y)^{p}:
(x+y)^{p} =\sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}x^{k}y^{\,p-k} =\binom{p}{0}x^{0}y^{p}+\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}x^{k}y^{\,p-k}+\binom{p}{p}x^{p}y^{0}.
Como \binom{p}{0}=1 e \binom{p}{p}=1, o somatório fica
(x+y)^{p} =y^{p}+\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}x^{k}y^{\,p-k}+x^{p}.

Passo 3

Pelo Exercício 11 temos que cada coeficiente \binom{p}{k} com 1\le k\le p-1 é múltiplo de p. Logo,
\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}x^{k}y^{\,p-k}\equiv 0\pmod{p}.
Desse modo, na congruência módulo p sobra apenas
(x+y)^{p}\equiv y^{p}+x^{p}\pmod{p},
ou seja,
(x+y)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}\pmod{p}.

Resposta

(x+y)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}\pmod{p},\quad \forall x,y\in\mathbb{Z}.

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